Polinomio Irreducible $\frac{x^{n}+x^{m}-2}{x^{\gcd(n,m)}-1}$$\mathbb{Q}$.

Question

Tengo que demostrar que el polinomio $$f(x)=\frac{x^{n}+x^{m}-2}{x^{\gcd(n,m)}-1}$$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$, para todos los $n,m \in \mathbb{N}$. Alguna idea de cómo puedo mostrar esto.

Answer 1

Sugerencia: Decir que $gcd(n,m)=d$, y escribir $f(x) = \dfrac{x^n+x^m-2}{x^d-1}$

$$f(x) = x^{(c-1)d}+x^{(c-2)d} + \cdots x^{bd}+2x^{(b-1)d)}+ \cdots +2x^d +2$$ where $n = cd$, $m=bd$. Consider the polynomial $g(x) = x^{c-1} + \cdots + x^b +2x^{b-1}+ \cdots +2x + 2 $. Muestran que este polinomio tiene sólo raíces de valor absoluto mayor que 1. Use esto para mostrar que las raíces de f satisface una propiedad similar, y derivar una contradicción.