Me estoy preguntando ¿qué es exactamente la razón por la que no uso el $\epsilon-\delta$ definición de continuidad en Hyperreals? Quiero decir, sé que uno de los propósitos de la construcción de este conjunto es que vamos a reemplazar ese $\epsilon-\delta$ concepto de infinitesimals. Pero debe haber otras razones, a la derecha? Se que $\epsilon-\delta$ definición todavía trabajo en Hyperreals? Saludos!
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Tomas Dabasinskas
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Sí, la epsilon-delta definición de trabajo en el hyperreals. Esto es debido a que el epsilon-delta definición es de primer orden de la fórmula, lo que significa que la cuantificación es sólo a través de elementos (no más de conjuntos, como en la integridad de la propiedad de la real campo). Por lo tanto, una función real $f$ es continua en un punto real $c$ si $$(\forall \epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x) \big[|x-c|<\delta \implies |f(x)-f(c)|<\epsilon\big].$$ By the transfer principle applied to this first-order formula, it is still valid over the hyperreals: $$(\forall \epsilon\in{}^\ast\mathbb R^+)(\exists\delta\in{}^\ast\mathbb R^+)(\forall x\in{}^\ast\mathbb R) \big[|x-c|<\delta \implies |f(x)-f(c)|<\epsilon\big].$$ This is now true for all positive values of $\epsilon$, for instance if $\epsilon$ is a positive infinitesimal. In the second formula $f$ denotes the natural extension of the real function $f$ (sometimes this is denoted ${}^\ast\! f$ pero el asterisco se elimina cuando se trata con funciones cuando el significado es ambiguo).
En cuanto a tu pregunta "Pero debe haber otras razones, a la derecha?" usted puede estar interesado en nuestro trabajo, donde hemos desarrollado un marco para la geometría diferencial a través de desplazamientos infinitesimales:
Nowik, Tahl; Katz, Mikhail G. geometría Diferencial a través de desplazamientos infinitesimales. J. Registro. Anal. 7 (2015), Documento 5, 44 pp.
De hecho, hay una sutil diferencia entre las dos definiciones de continuidad: (A) la "continuidad" a $x$ a través de epsilon-delta, y (B) "microcontinuity" a $x$ a través de Cauchy de la idea de exigir que para cada infinitesimal $\Delta x=\alpha$, el cambio en la función $\Delta y=f(x+\alpha)-f(x)$ también es infinitesimal.
Las dos definiciones (A) y (B) son equivalentes cuando se aplica a un punto real $x=c$, es decir,$c\in\mathbb R$. Sin embargo, en general no pueden ser equivalentes. Por ejemplo, si $f(x)=x^2$ $x=H$ es infinito, $f$ será continua en $x=H$ pero no microcontinuous en $x=H$.
De hecho, uniforme de continuidad de una función real $f$ en, digamos, $\mathbb R$ es equivalente a microcontinuity de ${}^\ast\! f$ en todos los puntos de ${}^\ast\mathbb R$. Mientras tanto, la continuidad de la $f$ $\mathbb R$ es equivalente a microcontinuity a todos los verdaderos puntos de $x\in \mathbb R$.
