¿Cómo probar que una función es integrable en Riemann si y sólo si es integrable en Darboux?

Question

(Pg. 16 Ejercicio 1.1.22. en La teoría de la medida de Terry Tao ) Mostrar que si $f:[a,b] \to\mathbb {R}$ es una función delimitada, entonces es integrable de Riemann si y sólo si es integrable de Darboux de tal manera que sus integrales de Darboux y Riemann sean equivalentes. En otras palabras $$ \int_a ^b f(x) \ dx= \lim_ {\|P\| \to 0} \mathcal {R}(f, \mathcal {P}) \Longleftrightarrow\sup_ {g \le f; \kern 0.1em \mathrm {piecewise \kern 0.1em constant}} \textrm {p.c.} \int_a ^b g(x) \ dx = \inf_ {h \ge f, \kern 0.1em \mathrm {piecewise \kern 0.1em constant}} \textrm {p.c.} \int_a ^b h(x) \ dx.$$ ¿Alguien podría darme alguna pista?

Answer 1

Puedo proporcionar un breve esquema y usted puede desarrollarlo en una prueba adecuada. En primer lugar hay que entender que la definición de integral de Darboux que se da en tu post es equivalente a la formulación que se da en la mayoría de los libros de texto. Así, dada una función acotada $f:[a, b] \to\mathbb {R} $ tomamos una partición arbitraria $$P=\{a=x_0,x_1,x_2,\dots,x_n=b\}, x_{i-1}<x_{i},i=1,2,\dots,n$$ de $[a, b] $ y definir las sumas de Darboux $$L(f, P) =\sum_{i=1}^{n}m_{i}(x_i-x_{i-1}),\, U(f,P)=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_i-x_{i-1})$$ donde $$M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x),\, m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x)$$ Dejemos que $\mathcal{P}[a, b] $ denotan el conjunto de todas las posibles particiones del intervalo $[a, b] $ . Las sumas de Darboux están a su vez acotadas ( $L(f, P) \leq M(b-a), U(f, P) \geq m(b-a) $ donde $M, m$ son el sumo y el ínfimo de $f$ en $[a, b] $ ) y por lo tanto $$\overline{J} =\inf_{P\in\mathcal{P} [a, b]} U(f, P), \, \underline{J} =\sup_{P\in\mathcal{P} [a, b]} L(f, P) $$ existe. Tienes que demostrar que $$\underline{J} =\sup_{g\leq f, \text{ piecewise constant}}\text{p.c.}\int_{a}^{b}g(x)\,dx,\,\overline{J}=\inf_{h\geq f, \text{ piecewise constant}} \text{p.c.}\int_{a}^{b}h(x)\,dx$$ que establece la equivalencia de las definiciones de la integral de Darboux dadas por Tao y las dadas en otros libros de texto.

Una vez hecho esto, hay que demostrar que $$\underline{J} =\lim_{|P|\to 0}L(f,P),\,\overline{J}=\lim_{|P|\to 0}U(f,P)$$ Esto ya se hace en esta respuesta .

Como una suma de Riemann está siempre intercalada entre sumas de Darboux superiores e inferiores, se deduce que si $f$ es integrable por Darboux, entonces las sumas superiores e inferiores de Darboux tienden a un límite común como $|P|\to 0$ y por tanto también lo hacen las sumas de Riemann y el valor de la integral definida por estas aproximaciones también es el mismo.

Para recorrer el camino inverso (de Riemann a Darboux) basta con demostrar que se puede encontrar una suma de Riemann tan cercana a una suma de Darboux como queramos eligiendo los puntos de etiqueta $t_i\in[x_{i-1},x_i]$ tal que $f(t_i) $ está cerca $M_i$ (o $m_i$ según sea necesario). Y, por tanto, si las sumas de Riemann tienden a un valor determinado, las sumas de Darboux también lo hacen.

Answer 2

Para cualquier función fija $f$ en $[a,b]$ y para cualquier partición etiquetada $\dot{\mathcal{P}}$ de $[a,b]$ tenemos que $$L(f,\mathcal{P})\leq \mathcal{R}(f,\dot{\mathcal{P}})\leq U(f,\mathcal{P})$$ lo que implica que la integrabilidad de Darboux implica la integrabilidad de Riemann, tal y como observó Herb Steinberg.

Por el contrario, si $f$ es un acotado función en $[a,b]$ y $\mathcal{P}$ es cualquier partición de $[a,b]$ entonces para cualquier $\varepsilon>0$ podemos encontrar dos etiquetas de $\mathcal{P}$ Digamos que $\dot{\mathcal{P}}$ y $\ddot{\mathcal{P}}$ tal que $$\mathcal{R}(f,\dot{\mathcal{P}})\leq L(f,\mathcal{P})+\varepsilon\quad\text{and}\quad U(f,\mathcal{P})-\varepsilon\leq \mathcal{R}(f,\ddot{\mathcal{P}})\,.$$ Esto implica que una función acotada e integrable de Riemann es integrable de Darboux.

Ahora sólo tenemos que demostrar que una función integrable de Riemann está efectivamente acotada. El problema de una función no acotada es: ¡.... no está acotada! Esto significa que por muy pequeña que sea la malla de cualquier partición de $[a,b]$ es, habrá alguna subdivisión en la que $f$ no está acotado. Este hecho puede contrarrestar de forma bastante dramática la pequeñez de cualquier malla.

Más explícitamente, supongamos que $f$ es integrable de Riemann y no tiene límites. (Permítanme suponer que $f$ es ilimitado desde arriba; el argumento puede ser manipulado para el otro caso o aplicado a $-f$ .) Sea $L$ denotan su integral de Riemann. Sea $M>0$ sea cualquier número (grande) . Sea $\varepsilon>0$ sea arbitraria. Sea $\delta>0$ se elija de forma que siempre que $\dot{\mathcal{P}}$ es cualquier partición etiquetada de $[a,b]$ con malla menor que $\delta$ podemos decir que $$|\mathcal{R}(f,\dot{\mathcal{P}})-L|<\varepsilon$$ Ahora dejemos que $\delta_0$ sea cualquier número (minúsculo) tal que $0<\delta_0<\delta$ . Sea $$\dot{\mathcal{P}}=\{a=x_0\leq t_0 \leq x_1\leq t_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_{n-1}\leq t_{n-1}\leq x_n=b\}$$ sea una partición etiquetada de $[a,b]$ con malla menor que $\delta_0$ . Desde $f$ no tiene límites en $[a,b]$ Hay una subdivisión, digamos $[x_k, x_{k+1}]$ de $\mathcal{P}$ en el que $f$ no tiene límites. En particular, podemos elegir una (posiblemente nueva etiqueta) $t^*$ de $[x_k, x_{k+1}]$ para que $$f(t^*)(x_{k+1}-x_k)>L+M-\sum_{j=0, j\neq k}^{n-1}f(t_j)(x_{j+1}-x_j)\,.$$

Dejemos que $\ddot{\mathcal{P}}$ denota esta nueva partición con $t^*$ . Entonces tenemos $$L+M<f(t^*)(x_{k+1}-x_k)+\sum_{j=0, j\neq k}^{n-1}f(t_j)(x_{j+1}-x_j)=\mathcal{R}(f,\ddot{\mathcal{P}})< L+\varepsilon\,.$$ Esto es claramente una tontería. Por lo tanto, $f$ debe estar acotado.

Answer 3

La aproximación para una integral de Riemann está acotada por arriba y por abajo, respectivamente, por el sup e inf de Darboux. Por tanto, Darboux implica a Riemann.

Las sumas de Riemann pueden construirse como sumas superiores e inferiores de Darboux. Por tanto, Riemann implica a Darboux.