Por ejemplo, digamos que utilizamos los operadores +, y *, y el conjunto {0,1,2}
Las tablas de Cayley tienen este aspecto:
* 0 1 2 + 0 1 2
0 0 0 1 0 1 2 0
1 1 2 1 1 0 1 0
2 0 0 2 2 1 2 2Estas tablas de Cayley son totalmente aleatorias, pero la cuestión es que la estructura algebraica no es necesariamente como cualquier otro tipo común de estructura algebraica con dos operadores binarios (por ejemplo, campo, anillo, álgebra booleana). Los dos operadores sólo obedecen a la clausura, así que es básicamente una abstracción de un magma a más de un operador.
¿Existe ya un nombre específico y consensuado para esto en matemáticas? Lo más obvio para mí sería llamar a esto un bimagma, luego llamar a algo similar con tres operadores binarios un trimagma, y luego en general un n-magma. ¿Tienen estas estructuras un nombre común y consensuado?
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Si las dos operaciones no se comunican entre sí, a través de algo como la distributividad o la identidad de Jacobi, entonces son sólo eso, dos operaciones separadas.
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Pero, ¿es eso cierto? Puede que haya propiedades como la distributividad o la identidad de Jacobi que los dos operadores obedezcan, o puede que no, esa es la cuestión. De todas formas, ¿no debería derivarse toda esa información de las tablas de Cayley?
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No estoy seguro de si una prueba formal sería posible o no, pero dados dos operadores binarios como este, debería ser posible demostrar algunos tipo de identidad para dos tablas de Cayley dadas, ¿no crees?
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No he visto antes un término para este tipo de estructura, pero me gusta el " $n$ idea "-magma".
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Como sugiere @lhf, realmente no tiene sentido hacer un término específico para un conjunto con múltiples operaciones a menos que estén relacionadas de alguna manera. Al igual que si un conjunto es un grupo bajo dos operaciones diferentes, simplemente se habla de él como dos grupos separados, no como un grupo doble. Debe haber alguna relación entre las dos operaciones para que tenga sentido agruparlas.
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No veo por qué no tiene sentido. De hecho, permítanme exponer mi caso de uso de por qué un término como este sería útil: Estoy desarrollando una biblioteca de python que permite a los usuarios analizar las propiedades de los magmas, así como las propiedades de (inserte la palabra para las estructuras algebraicas con dos operadores binarios aquí). Este término genérico incluiría anillos, campos y cualquier otro tipo de estructura algebraica que relacione dos operadores binarios con alguna identidad.
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La razón por la que esto es inútil es que un conjunto con dos estructuras de magma, es igual que dos magmas. No es necesario programar nada nuevo. Si tienes una biblioteca para manejar magmas, y ahora tienes un solo conjunto con dos estructuras de magma, entonces sólo trátalo como dos magmas.
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Bigroupoid ¡! books.google.it/ pero este término se usaba mucho antes, estoy seguro.
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@MattAllegro, Interesante, aunque creo que el término bimagma podría ser más apropiado, ya que "groupoide" tiene dos definiciones comunes, mientras que el magma tiene una, lo que hace que "bimagma" sea menos ambiguo. Al parecer, el término bigroupoid también tiene otras definiciones .
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@Sintrastes: ¡Hola! Sí había visto esa página... pero no sé mucho de ella en realidad. Bigroupoid es la palabra: juraría que algunos autores la utilizaban hace décadas (¿R.H. Bruck, 1958? Debería comprobarlo una y otra vez...) mientras que nunca he oído/leído bimagma . Pero este es el camino a seguir ;)
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Sí, busqué "bimagma", y lo encontré en algunos lugares en Google books, pero el contenido real no estaba disponible para navegar, así que no pude obtener la definición. Ici es el libro que encontré. Exactamente lo que recogió fue "Bimagmatic bialgebra", y descubrí que el bialgebra está realmente relacionado con los espacios vectoriales. Sin embargo, también encontré este "...Esto denota un bimagma (un conjunto con dos operaciones binarias)" (pg 1)
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A menos que lo que dices sea cierto, y que haya un número decente de autores que hayan usado el término hace décadas, no parece que haya realmente un término establecido y usado a menudo para esto. Sin embargo, me interesaría ver si el uso que he discutido en mi respuesta a esto (de A Course in Universal Algebra) se ha utilizado antes o no.