Centralizadores de reflexiones en parabólico subgrupos de los grupos de Coxeter

Question

Consideremos una (no necesariamente finita) grupo de Coxeter $W$ generado por un conjunto finito de involuciones $S=\{s_1,...,s_n\}$ sujeto (como de costumbre) a las relaciones de los $(s_is_j)^{m_{i,j}}$ $m_{i,j}=m_{j,i}$ $m_{i,j}=1$ si y sólo si $i=j$ (si es necesario, usted también puede asumir que $m_{i,j}<\infty$ todos los $i,j$). Deje $P\leq W$ ser un subgrupo generado por todos, pero uno de los $s_i$, dicen wlog $P=\langle s_1,...,s_{n-1}\rangle$.

Estoy interesado en el centralizador de $s_n$$P$. En particular, me gustaría saber si $C_P(s_n)=C_W(s_n) \cap P=\langle s_i~|~ 1\leq i\leq n-1, m_{i,n}=2\rangle=:Z$ siempre.

Obviamente esto es cierto si $n=2$ y creo (aunque no he escrito abajo rigurosamente) puedo probarlo por grupos de Coxeter de tipo $A_n$ utilizando el estándar de isomorfismo a $S_n$. Por otro lado el centralizador de $s_n$ $W$ no es necesariamente un estándar parabólico subgrupo (mira el diedro grupo de orden $8$ por ejemplo).

Hay algunos resultados en los centralizadores de reflexiones en grupos de Coxeter y en normalizadores/centralizadores de parabólica subgrupos (que es el mismo en este caso especial) que se encuentran en la literatura, pero en la mayoría de lidiar con el centralizador en $W$. En principio debería ser posible obtener el centralizador en $P$ a partir de estos resultados simplemente tomar el cruce, pero los resultados que he encontrado hasta el momento no son explícitas/ lo suficientemente simple como para que esto sea una solución factible.

Edit: Algunas reflexiones hasta ahora: puedo demostrar que los elementos de la $C_P(s_n)$ de la longitud de la $1$ o $2$ ya se encuentran en $Z$ (en el caso de $1$ trivial) y que los elementos de la $C_P(s_n)$ de la longitud de la $3$, donde todos los tres ocurriendo simples reflexiones son pares distintos ya pertenecen a $Z$.

Por otro lado vistazo a $s_1s_2s_1 \in C_P(s_n)$ que centraliza $s_n$ si y sólo si $s_2$ centraliza $s_1s_ns_1$. No veo ninguna razón por qué esto no debería ser el caso, así que trató de construir un contraejemplo que consta de $s_1,s_2$ $s_3$ tal que $s_1,s_2$ no conmutan y $s_1s_3$ no conmutan, sino $s_2$ $s_1s_3s_1$ do. Alguna idea de cómo hacer eso?

Answer 1

He publicado la pregunta sobre en MathOverflow y acaba de publicar una prueba. Así que para no tener la pregunta sin una respuesta en este sitio, aquí va:

Sorprendentemente, la prueba sólo se utiliza el estándar de los hechos en Coxeter-grupos (de cambio de condición, de resolver el problema a través de la trenza-se mueve,...).

Permítanme en primer lugar hacer la anotación de un poco más fácil:

Reclamo: Vamos a $P\leq W$ ser un subgrupo especial de $W$ generado por un subconjunto $S'\subsetneq S$$S$$s \in S-S'$. A continuación, el centralizador de $s$ $P$ es generado por esos involuciones en $S'$ que conmuta con $s$, $C_P(s)=\langle s' \in S'~|~ s's=ss' \rangle$.

Prueba: Supongamos $w \in C_P(s)$ $w=s_1...s_r$ ser una reducción de la expresión. Por inducción es suficiente para probar que $s_rs=ss_r$ ya que los elementos de la longitud de la $1$ en el centralizador son precisamente el simple involuciones que conmutan con a $s$.

Tenemos $\ell(ws)=\ell(w)+1$ y desde $\ell(wsw^{-1})=\ell(s)=1$ llegamos a la conclusión de que $\ell(wss_r)<\ell(ws)$, lo $\ell(wss_r)=\ell(w)$. Por el cambio de condición hay una reducción de la expresión de $ws$ terminando en $s_r$ y desde $s_1...s_rs$ es ya una reducción de la expresión de $ws$ existe una serie finita de la trenza-mueve la conexión de estas dos expresiones.

La expresión $s_1...s_rs$ contiene $s$ sólo una vez y no simple involución que no conmuta con $s$ se muestra a la derecha de $s$. Consideremos ahora cualquier trenza-avanzar en esta situación. Si $s$ no está involucrado en el movimiento de las dos condiciones, obviamente, todavía se mantienen después. Si $s$ está involucrado el otro simple involución involucrados deben de viajar con $s$ desde cualquier trenza-mover que implican $s$ y no de trayecto $s'$ requiere de al menos dos ocurrencia de $s$ (dos a la izquierda y dos a la derecha de $s'$) o una ocurrencia de $s'$ a la derecha de $s$ ni de lo que hay. Por lo tanto, cualquier trenza-mover corrige nuestros dos condiciones y después de un número finito de la trenza se mueve aún no existe una simple involución a la derecha de $s$ que no conmuta con $s$.

En el otro lado, como se señaló anteriormente, una serie finita de la trenza-se mueve después de que la expresión termina en $s_r$ $s_r$ conmuta con $s$ como se afirma.