Deje $(X,\mathcal M, \mu)$ ser una medida en el espacio, y $\mu_0$ el semifinite parte de $\mu$. Demostrar que no es una medida $\nu$ tal que $\mu=\mu_0+\nu$.

Question

Este es el Ejercicio 15c Capítulo 1 de la Folland. Yo sé que si hay un $F\subseteq E$$0<\mu(F)<\infty$,$\mu_0(E)=\mu(E)$. Si $\mu(E)=\infty$, y $F\subseteq E$,$\mu(F)<\infty$ implican $\mu(F)=0$,$\mu_0(E)=0$.

He intentado $$\nu(E)= \begin{cases} 0, & \text{if }\mu(E)=\mu_0(E)\\ \infty, & \text{otherwise}. \end{casos}$$

Esto satisface $\mu=\mu_0+\nu$, pero no es una medida. Si $\{E_n\}\subseteq\mathcal M$ es una colección de conjuntos disjuntos, y $\nu(E_n)=\infty$ algunos $n$, e $\nu(E_m)=0$ $m\ne n$ $$\sum_{n=1}^\infty \nu(E)=\infty,$$

pero hay $F\subset\bigcup E_n$ tal que $0<\mu(F)<\infty$, ya que estos conjuntos están contenidas en cualquiera de los $E_m$ distinta de la de $E_n$; por lo tanto, $$\nu\left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\right)=0.$$

Dejando $\nu(E)=\infty$ si y sólo si $\mu(E)=\infty$ no funciona bien. Sólo necesitamos una contables colección de conjuntos finitos de medida, de tal manera que la unión tiene una infinidad de medir para ver que $\nu$ no es una medida en este caso. Así que, estoy atascado.

Answer 1

No estoy seguro de si esta prueba no es correcta, pero parece ser. Alguien puede comprobar??

Definir un conjunto $E \in \mathcal{M}$ $\sigma$-finito para $\mu$ si existe una colección de $\{F_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{M}$ tal que $ \mu(F_n) < \infty$ (para todos los $n$) y $E=\bigcup_n F_n$.

Definir la medida $\nu: \mathcal{M} \to \{0,\infty\}$

$\nu(E)= \left\{ \begin{array}{} 0 & \text{if } E \text{ is } \sigma\text{-finite for } \mu\\ \infty & \text{if } E \text{ is not } \sigma \text{-finite for } \mu\\ \end{array} \right.$

Es bastante fácil ver que $\mu = \mu_0+\nu$. Esto es porque si $E$ $\sigma$- finito para $\mu$$\mu(E)=\mu_0(E)=\mu_0(E)+0=\mu_0(E)+\nu(E)$; y si $E$ no $\sigma$-finito para $\mu$, entonces necesariamente tiene que $\mu(E)=\infty= \nu(E)=\mu_0(E)+\nu(E)$.

Para demostrar que $\nu$ es una medida, considere la posibilidad de una colección de conjuntos disjuntos $\{E_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{M}$. Si todos los de la $E_n$ $\sigma$- finito para $\mu$, $\bigcup_n E_n$ $\sigma$- finito para $\mu$ (fáciles de la prueba), y por lo tanto $\nu(\bigcup_nE_n)=0=\sum_n \nu(E_n)$. Por otro lado, si alguno de los conjuntos de $E_n$ no $\sigma$-finito para $\mu$, $\bigcup_n E_n$ no puede posiblemente ser $\sigma$-finito para $\mu$ (fáciles de la prueba), y por lo tanto $\nu(\bigcup_nE_n)=\infty=\sum_n \nu(E_n)$.