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Deje (X,M,μ)(X,M,μ) ser una medida en el espacio, y μ0μ0 el semifinite parte de μμ. Demostrar que no es una medida νν tal que μ=μ0+νμ=μ0+ν.

Este es el Ejercicio 15c Capítulo 1 de la Folland. Yo sé que si hay un FEFE0<μ(F)<0<μ(F)<,μ0(E)=μ(E)μ0(E)=μ(E). Si μ(E)=μ(E)=, y FEFE,μ(F)<μ(F)< implican μ(F)=0μ(F)=0,μ0(E)=0μ0(E)=0.

He intentado \nu(E)=
\begin{cases}
0, & \text{if }\mu(E)=\mu_0(E)\\
\infty, & \text{otherwise}.
\end{casos}
\nu(E)=
\begin{cases}
0, & \text{if }\mu(E)=\mu_0(E)\\
\infty, & \text{otherwise}.
\end{casos}

Esto satisface μ=μ0+νμ=μ0+ν, pero no es una medida. Si {En}M{En}M es una colección de conjuntos disjuntos, y ν(En)=ν(En)= algunos nn, e ν(Em)=0ν(Em)=0 mnmn n=1ν(E)=,n=1ν(E)=,

pero hay FEnFEn tal que 0<μ(F)<0<μ(F)<, ya que estos conjuntos están contenidas en cualquiera de los EmEm distinta de la de EnEn; por lo tanto, ν(n=1En)=0.ν(n=1En)=0.

Dejando ν(E)=ν(E)= si y sólo si μ(E)=μ(E)= no funciona bien. Sólo necesitamos una contables colección de conjuntos finitos de medida, de tal manera que la unión tiene una infinidad de medir para ver que νν no es una medida en este caso. Así que, estoy atascado.

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Shalop Puntos 4722

No estoy seguro de si esta prueba no es correcta, pero parece ser. Alguien puede comprobar??

Definir un conjunto EMEM σσ-finito para μμ si existe una colección de {Fn}nNM tal que μ(Fn)< (para todos los n) y E=nFn.

Definir la medida ν:M{0,}

ν(E)={0if E is σ-finite for μif E is not σ-finite for μ

Es bastante fácil ver que μ=μ0+ν. Esto es porque si E σ- finito para μμ(E)=μ0(E)=μ0(E)+0=μ0(E)+ν(E); y si E no σ-finito para μ, entonces necesariamente tiene que μ(E)==ν(E)=μ0(E)+ν(E).

Para demostrar que ν es una medida, considere la posibilidad de una colección de conjuntos disjuntos {En}nNM. Si todos los de la En σ- finito para μ, nEn σ- finito para μ (fáciles de la prueba), y por lo tanto ν(nEn)=0=nν(En). Por otro lado, si alguno de los conjuntos de En no σ-finito para μ, nEn no puede posiblemente ser σ-finito para μ (fáciles de la prueba), y por lo tanto ν(nEn)==nν(En).

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