Este es el Ejercicio 15c Capítulo 1 de la Folland. Yo sé que si hay un F⊆EF⊆E0<μ(F)<∞0<μ(F)<∞,μ0(E)=μ(E)μ0(E)=μ(E). Si μ(E)=∞μ(E)=∞, y F⊆EF⊆E,μ(F)<∞μ(F)<∞ implican μ(F)=0μ(F)=0,μ0(E)=0μ0(E)=0.
He intentado
\nu(E)=
\begin{cases}
0, & \text{if }\mu(E)=\mu_0(E)\\
\infty, & \text{otherwise}.
\end{casos}\nu(E)=
\begin{cases}
0, & \text{if }\mu(E)=\mu_0(E)\\
\infty, & \text{otherwise}.
\end{casos}
Esto satisface μ=μ0+νμ=μ0+ν, pero no es una medida. Si {En}⊆M{En}⊆M es una colección de conjuntos disjuntos, y ν(En)=∞ν(En)=∞ algunos nn, e ν(Em)=0ν(Em)=0 m≠nm≠n ∞∑n=1ν(E)=∞,∞∑n=1ν(E)=∞,
pero hay F⊂⋃EnF⊂⋃En tal que 0<μ(F)<∞0<μ(F)<∞, ya que estos conjuntos están contenidas en cualquiera de los EmEm distinta de la de EnEn; por lo tanto, ν(∞⋃n=1En)=0.ν(∞⋃n=1En)=0.
Dejando ν(E)=∞ν(E)=∞ si y sólo si μ(E)=∞μ(E)=∞ no funciona bien. Sólo necesitamos una contables colección de conjuntos finitos de medida, de tal manera que la unión tiene una infinidad de medir para ver que νν no es una medida en este caso. Así que, estoy atascado.