$k$ tal que $n,2n,\dots,kn$ tiene de extraño suma de los dígitos

Question

es la siguiente declaración verdadera o no?

para cualquier $k\in\mathbb{N}$ existe $n\in\mathbb{N}$ de manera tal que todos los números de $n,2n,\dots,kn$ tiene de extraño suma de los dígitos?

No tengo ni idea... puede ser duro (para la suma de los dígitos sería muy fácil)

Answer 1

Sugerencia : si tenemos en cuenta el número de $n=9\cdots9$ $2k-1$ $9$'s. así, por cada elemento de a $0\leq i\leq 10^k$ tenemos la suma de los dígitos de $ik$ es impar (es igual a 9(2k-1)) lo que demuestra su declaración. Voy a dar una prueba, si esto es necesario.

Answer 2

Sugerencia: Tener una extraña suma de los dígitos de los medios es el equivalente a la condición de que el número mod 9 es impar. Esto significa que es suficiente para considerar $n \in \{0,\ldots,8\}$.