La pregunta es la siguiente:
Se recoge una muestra aleatoria de n valores de una distribución binomial negativa con parámetro k = 3.
- Encuentre el estimador de máxima verosimilitud del parámetro .
- Encuentre una fórmula asintótica para el error estándar de este estimador.
- Explica por qué la distribución binomial negativa será aproximadamente normal si el parámetro k es suficientemente grande. ¿Cuáles son los parámetros de esta aproximación normal?
Mi trabajo ha sido el siguiente:
1. Siento que esto es lo que se quiere, pero no estoy seguro de si soy preciso aquí o si puedo llevar esto más allá dada la información proporcionada? $$p(x) = {x-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x-k}\\ L(\pi) = \Pi_i^n p(x_n|\pi)\\ \ell(\pi) = \Sigma_i^n\ln(p(x_n|\pi))\\ \ell`(\pi) = \Sigma_i^n\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{(x-k)}{(1-\pi)}$$
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Creo que lo que se pide es lo siguiente. Para la parte final me parece que tengo que sustituir $\hat{\pi}$ con $\dfrac{k}{x}$ $$\ell``(\hat{\pi}) = -\dfrac{k}{\hat{\pi}^2} + \dfrac{x}{(1-\hat{\pi})^2}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{-\dfrac{1}{\ell``(\hat{\pi})}}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{\dfrac{\hat{\pi}^2}{k} - \dfrac{(1-\hat{\pi})^2}{x}}\\$$
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No estoy muy seguro de cómo probar esto y todavía estoy investigando. Cualquier pista o enlace útil sería muy apreciado. Creo que está relacionado con el hecho de que una distribución binomial negativa puede ser vista como una colección de distribuciones geométricas o la inversa de una distribución binomial, pero no estoy seguro de cómo abordarlo.
Cualquier ayuda sería muy apreciada
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(1) Para encontrar la estimación de máxima verosimilitud $\hat \pi$ hay que encontrar el punto en el que la función de probabilidad logarítmica alcanza su máximo. Calculando la puntuación (la primera derivada de la función log-verosimilitud con respecto a $\pi$ ) es un comienzo - ¿qué valor tomará esto al máximo? (Y recuerde que no necesita estimar $k$ .)
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Se me olvidó añadir la derivada de la log-verosimilitud = 0 a efectos de calcular el máximo. Si he calculado esto correctamente (he estado trabajando en ello todavía desde la publicación), lo que tengo es $\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{\Sigma_{i=0}^n(x_i-k)}{(1-\pi)} = 0$
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Tengan cuidado: $\sum_{i=1}^n \frac{k}{\pi} - \sum_{i=1}^n{\frac{(x_i-k)}{(1-\pi)}} = \ ?$ También hay que tener en cuenta que $i$ comienza a la 1.
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En (2), rara vez ocurre que el recíproco de una diferencia sea la diferencia de los recíprocos. Este error enormemente afecta a su fórmula final para $se(\hat\pi)$ .