Cómo determinar si este es un campo?

Question

Un sub-anillo finito $R$ de un campo de $V$ contiene $1$ (por lo $1$ es un elemento de $R$).

La pregunta es: Verdadero o Falso: El anillo de $R$ debe ser un campo.

Pensé que si $R$ era un campo que tenía que ser un campo finito en este caso (porque $R$ es un anillo finito). Y para ser capaz de ser un campo finito, debe tener $$ |R| = p^n $$ Con $p$ un primer y $n$ un número natural, pero esto no tiene que ser el caso.

Podría estar equivocado, o lo que yo estoy diciendo podría ser insuficiente para demostrar esta bien o mal.

Por favor, ayuda ^^

Answer 1

Sugerencia: es una finito integral de dominio. O por el contrario, si usted no está familiarizado con el correspondiente teorema, el único problema es si cada elemento no nulo $a$ $R$ tiene un (multiplicativo) de forma inversa.

Para mostrar que lo hace, considere la posibilidad de los poderes de la $a$. Por la finitud, no deben ser números enteros $m$$n$, $0\le m \lt n$ tal que $a^m=a^n$. Pero, a continuación,$a^{n-m}=1$. A partir de esto, usted debe ser capaz de demostrar que algún poder de $a$ es la inversa de a $a$.

Nota: tienes razón en que si $R$ es un campo (que lo es), a continuación, $R$ tienen $p^n$ elementos para algunos prime $p$ y algunos entero positivo $n$. Sin embargo, que no conduce a una contradicción.

Answer 2

Desde $R$ es un sub-anillo finito, es suficiente para comprobar si se trata de una integral de dominio, como cada finito integral de dominio es un campo.

Por supuesto, un (sub)anillo es una parte integral de dominio si no tiene divisores de cero.

Supongamos por contradicción que $R$ tiene divisores de cero. Entonces, hay $a,b \in R$ tal que $ab = 0$.

$V$ es un campo, y por lo $V$ es una parte integral de dominio y no tiene divisores de cero. Desde $a,b \in R \subset V$, $V$ tiene divisores de cero, contradiciendo la afirmación de que $V$ es un campo.