Probabilidad de que un fotón ha sufrido su última dispersión

Question

Una consideración importante en la post-recombinación época es el problema de la la profundidad óptica $\tau$ del Universo debido a la dispersión de Compton. Esta es una cantidad adimensional tal que $exp(−\tau)$ (a menudo llamado la visibilidad) describe la atenuación del flujo de fotones al atravesar una cierta longitud. La probabilidad de $dP$ que un fotón ha sufrido un evento de dispersión de un electrón, mientras que viajar una distancia $cdt$ está dado por

$$dP=-\frac{dN_\gamma}{N_\gamma}=-\frac{dI}{I}=\frac{dt}{\tau_{\gamma e}}=n_e\sigma_Tcdt=-\frac{x\rho_m}{m_p}\sigma_T c\frac{dt}{dz}dz=-d\tau\hspace{1cm} (9.4.2)$$

donde $N_\gamma$ es el flujo de fotones, de modo que

$$I(t_0,z)=I(t)exp\left(-\int_0^z\frac{x\rho_m}{m_p}\sigma_T c\frac{dt}{dz}dz\right)=I(t)exp[-\tau(z)];\hspace{2cm} (9.4.3)$$

$I(t_0,z)$ es la intensidad de la radiación de fondo de alcanzar el observador en el tiempo $t_0$ con redshift $z$ si es incidente en una región en un redshift $z$ con intensidad $I[t(z)]$; $\tau(z)$ se llama la profundidad óptica de dicha región. La probabilidad de que un fotón, que llega al observador en la época actual, sufrió su última dispersión evento entre $z$ e $z-dz$ es

$$-\frac{d}{dz}\{1-exp[-\tau(z)]\}dz=exp[-\tau(z)]d\tau=g(z)dz\hspace{4cm}{(9.4.4)}$$

La cantidad de $g(z)$ se llama la diferencial de la visibilidad o la anchura efectiva de la superficie de última dispersión;

Este texto fue tomado de "la Cosmología. El origen y la evolución de la estructura cósmica" por P. Coles, F. Lucchin.

Tengo algunas dudas acerca de la $(9.4.2)$ e $(9.4.4)$.

Me gustaría escribir para $(9.4.2)$:

$$dP=-\frac{dN_\gamma}{N_\gamma}=-\frac{dI}{I}=...=...=-\frac{x\rho_m}{m_p}\sigma_T c\left|\frac{dt}{dz}\right|dz=-d\tau$$

debido a $z$ disminuye desde el Big Bang hasta us y $t$ aumenta, por lo $\frac{dt}{dz}<0$, $dz<0$ e $dt>0$. (La misma corrección, obviamente, dentro de la integral en $(9.4.3)$).

Acerca de $(9.4.4)$, lo que no está claro es la forma en que "La probabilidad de que un fotón, que llega al observador en la época actual, sufrió su último evento de dispersión entre las $z$ e $z-dz$", se deriva. ¿Cómo puedo obtener la primera expresión de $(9.4.4)$?

Alguien tiene alguna sugerencia?

Muchas gracias.

Answer 1

Aquí está mi intento, si alguien quiere comprobar.

Pensando en $(9.4.2)$ hice una prueba:

La probabilidad de $dP$ que un fotón ha sufrido un evento de dispersión de un electrón, mientras que viajar una distancia $cdt$ está dado por

$$dP=-\frac{dI}{I}$$

así que pensé que $\Delta P=-\frac{\Delta I}{I}$ debe ser la probabilidad de que un fotón ha sufrido un evento de dispersión de un electrón, mientras que viajar una distancia $c\Delta t$; por lo tanto, si $c\Delta t$ es la distancia de nosotros:

$$\Delta P=-\frac{\Delta I}{I}=-\frac{I_f-I_i}{I_i}=-\frac{I(t_0,z)-I(t)}{I(t)}\overbrace{=}^{(9.4.3)}-\frac{I(t)e^{-\tau(z)}-I(t)}{I(t)}=1-e^{-\tau (z)}$$

$\Delta P=1-e^{-\tau (z)}$ es la probabilidad de que un fotón (con redshift $z$) se llevarán a cabo al menos una más de dispersión antes de que nos llegue (en $z=0$).

Si esto es correcto, puedo decir que $1-(1-e^{-\tau(z)})=e^{-\tau(z)}$ es la probabilidad de que un fotón sufre un evento de dispersión antes de que el corrimiento hacia el rojo de las gotas a $z$.

Así

La probabilidad de que un fotón, que llega al observador en la época actual, sufrió su última dispersión evento entre $z$ e $z-dz$

es:

$$1-e^{-\tau(z)}-(1-e^{-\tau(z-dz)})=(1-e^{-\tau(z)})-(1-e^{-\tau(z-dz)})=\frac{d}{dz}\{1-e^{-\tau(z)}\}dz$$

y lo hemos hecho, aparte de el signo menos delante de $(9.4.4)$. Podría tratarse de un error tipográfico.

¿Qué te parece?