¿Por qué hay diferentes resultados a la hora de calcular una suma doble?

Question

Considere la posibilidad de: $$ \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0& 0& \ldots\\ 1/2 & -1 & 0 & 0& 0& \ldots\\ 1/4 & 1/2 & -1 & 0& 0& \ldots\\ 1/8 & 1/4 & 1/2 & -1& 0& \ldots\\ 1/16&1/8 & 1/4 & 1/2 & -1& \ldots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{de la matriz} $$

Cuando me calcular la suma de cada columna, al principio empecé a $0,0,0\ldots$ después de la suma de ellos, la respuesta debe ser $0$. Pero cuando tengo que calcular la suma de cada fila, conseguí $-1, -1/2, -1/4, -1/8,\ldots$, entonces la suma es $-2$. ¿Por qué hay diferentes resultados cuando tengo que calcular la suma?

Answer 1

La suma no es absolutamente convergente (http://en.wikipedia.org/wiki/Convergent_serieslo que puede hacer que la suma sea igual a lo que queremos.

Con divergente la serie de la manera en que nosotros el fin de la serie puede cambiar la suma. Como @DuAravis dijo que la serie puede ser escrito como \begin{align*} S_n &=(-1) +(\frac{1}{2} -1) +(\frac{1}{4}+\frac{1}{2} -1)+(\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2} -1) +\ldots=-2 \quad (1) \end{align*} o \begin{align*} S_n &=(-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} +\ldots) +\ldots (0-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} +\ldots) +\ldots=0 \quad (2) \end{align*} pero también podemos reordenar la matriz de la siguiente manera, $$ \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0& 0& \ldots\\ 1/2 & -1 & 0 & 0& 0& \ldots\\ 1/2 & 1/4 & -1 & 0& 0& \ldots\\ 1/2 & 1/4 & 1/8 & -1& 0& \ldots\\ 1/2 &1/4 & 1/8 & 1/16 & -1& \ldots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{de la matriz} $$ ahora bien, si se suma las columnas obtenemos $\infty$.

También, necesitamos ser cuidadosos acerca de la multiplicación. Por ejemplo, si se multiplica cada término por $x$. Entonces por (2) esto no debería cambiar el total de la suma, \begin{align*} S_n &=x \times (-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} +\ldots) +\ldots x \times (0-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} +\ldots) +\ldots=x \times 0=0 \end{align*} pero ahora si vamos a utilizar (1), \begin{align*} S_n &=x \times (-1) +x \times (\frac{1}{2} -1) +x \times (\frac{1}{4}+\frac{1}{2} -1)+(\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2} -1) +\ldots=-2x \quad (1) \end{align*} El problema creo que es que estamos trabajando con $\infty$'s así que cuando se manipula la suma es como sumar, restar o multiplicar por $\infty$. Aquí hay dos ejemplos famosos http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF y http://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s_series. Aquí hay algunos enlaces en mathexchange Suma de la divergencia de la serie y la Suma de los infinitos divergentes de la serie