doble coset pregunta

Question

Deje $G$ ser un grupo y $H$ a un subgrupo. Considere la posibilidad de $H/G\backslash H$ el conjunto de doble cosets de $H$$G$. Espectáculo $H$ es normal en $G$ si y sólo si la asignación de $f$ $G/H$ a $H/G\backslash H$ definido por $f(aH) = HaH$ todos los $a$ $G$ es un bijection. La parte de $H$ normal en $G$ implica la asignación de $f$ es un bijection es fácil. (Fue un comentario en Bourbaki Álgebra).

Answer 1

Si $H$ no es normal, entonces no existe $a\in G$, $h \in H$ con $a^{-1}ha \not\in H$, lo $ha \not\in aH$ y, por tanto,$aH \ne haH$. Pero $f(aH) = f(haH)$, lo $f$ no es un bijection.