$\int f(x)\,dx - \int f(x)\,dx$

Question

lo cual es cierto

$$\int f(x)\,dx - \int f(x)\,dx = 0$$

o

$$\int f(x)\,dx - \int f(x)\,dx=c\text{ ?}$$

con $c$ algunas constantes arbitrarias.

Mi intuición me dice que 'algo' se resta de por sí es siempre cero. Pero si podemos resolver cada término por separado, podemos tener distintos de integración constante que conducirá el resultado no necesita ser cero.

Answer 1

$\int f(x)\, dx$ generalmente significa que el conjunto de todos los anti-derivados de $f(x)$.

Si usted tiene un conjunto $A$ y un conjunto $B$, a continuación, en este contexto, $A-B$ debe ser interpretado como $\{a-b:\ a\in A, \ b\in B\}$.

Por lo tanto, $\int f(x)\, dx - \int f(x)\, dx = \mathbb R$ (suponiendo que estamos hablando de una verdadera integración de funciones). El resultado de la resta es lo que establece el "$C$ ""$+C$ " es permitido, ya que este es el conjunto de todos los $a-b$ $a$ $b$ tanto antiderivatives de $f(x)$.

Pero esto es más una pregunta acerca de la ambigüedad de las definiciones. Usted debe evitar escribir esto en la práctica, si es posible.

Answer 2

Tampoco es estrictamente correcto: la expresión $\displaystyle\int f(x)\,dx$ no está realmente definido de manera inequívoca como la identificación de un determinado objeto matemático, excepto cuando el contexto sea claro. Cuando se tiene precisamente un significado definido, es debido a que el contexto en el que es definido con precisión.

Si te refieres a "¿Qué se obtiene al restar una antiderivada de $f$ a partir de otra antiderivada de $f$?", entonces la respuesta es que se obtiene una constante, o en algunos casos (donde el dominio no está conectado) una constante a trozos.

Este problema surge a veces cuando la integración por partes. Uno tiene $$ \int \text{lo} \,dx = \int u\,dv = uv - \int v\,du = (\text{algunos expresión}) - 4\cdot\int\text{misma cosa}\,dx $$ donde la "misma cosa" significa la misma integral que se expresa en el extremo de arriba a la izquierda como $\displaystyle\int\text{whatever}\,dx$. Así que añadimos $\displaystyle 4\cdot\int\text{same thing}\,dx$ a ambos lados, obteniendo $$ 5\int\text{lo}\,dx = (\text{algunos expresión}) + \text{constante}. $$ Aquí el $\text{"}\cdots+\text{constant''}$ no se puede prescindir.

Esto ocurre en una común forma de integrar el cubo de la secante a la función, y en cosas como $\displaystyle\int e^{ax}\cos(bx)\,dx$.

Answer 3

Se pueden combinar para obtener $\int (f(x)-f(x))dx= \int 0 dx=C$.