¿Cómo demuestro que un espacio métrico es separable si es segundo contable?
SUGERENCIA: Una dirección es bastante trivial; te la dejo, al menos por ahora. La dirección más difícil es demostrar que un espacio métrico separable es segundo contable. Supongamos que $\langle X,d\rangle$ es un espacio métrico separable. Entonces $X$ tiene un subconjunto denso contable $D$ . El conjunto $\Bbb Q$ de números racionales es contable, por lo que
$$\mathscr{B}=\{B(x,r):x\in D\text{ and }0<r\in\Bbb Q\}$$
es una familia contable de bolas abiertas en $X$ . (Aquí $B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}$ es la bola abierta de radio $r$ centrado en $x$ .) Demuestre que $\mathscr{B}$ es una base para la topología métrica en $X$ . En otras palabras, demuestre que si $U$ es un conjunto abierto no vacío en $X$ y $x\in U$ entonces $x\in B\subseteq U$ para algunos $B\in\mathscr{B}$ . Le resultará útil observar que hay algunos $\epsilon>0$ tal que $B(x,\epsilon)\subseteq U$ por lo tanto, sólo hay que demostrar que hay algún $B(y,r)\in\mathscr{B}$ tal que $x\in B(y,r)\subseteq B(x,\epsilon)$ . La desigualdad del triángulo será útil.
¿Por qué dices que $x\in U$ entonces $x\in B \subseteq U$ . Creo que es mejor decir que si $U$ es un conjunto abierto no vacío en $X$ entonces existe $B\subseteq U$ para algunos $B\in \mathcal{B}$ .
@Schrödinger'sCat: No basta con decir que $B\in\mathscr{B}$ es crucial que $x\in B$ también. Lo que escribí especifica ambos requisitos de manera eficiente y comprensible.
La base que definiste, es que como cada elemento de $D$ enumerable, básicamente estás indexando por $\mathbb{Q}$ o es un poco isomorfo a $\mathbb{N} \times \mathbb{Q}$ ?
Para una implicación tienes una base contable de tu espacio. Toma un punto en cada elemento de la base. Como cada conjunto abierto es la unión de elementos de la base, cada conjunto abierto contiene uno de los puntos elegidos...
A la inversa, si tienes un conjunto denso contable, considera la familia de todas las bolas abiertas con radio racional centradas en tu conjunto. Esta familia es contable, y es fácil demostrar que es una base.
Mire la página 20 de este .pdf ( http://www.math.caltech.edu/~2010-11/1term/ma109a/notes/lect5.pdf ). En concreto, las proposiciones 5.17 y 5.20 dan las dos direcciones de su pregunta.
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