Para $f$ un continuo topológico de asignación, cuando son los valores en el límite de un conjunto determinado?

Question

Supongamos $f:X\to Y$ es un mapa continuo entre espacios topológicos, y supongamos que conocemos el valor de $f$ en un subconjunto $S\subset X$.

Continuidad nos dice que $f(\bar{S})\subset \overline{f(S)}$ cualquier $S\subset X$. Pero cuando lo hace prescribir el particular valor de $f(x)$$x\in \bar{S}\setminus S$?

Un criterio es suficiente $$ \text{$X$ es un primer contables espacio y $Y$ es un espacio de Hausdorff,}\etiqueta{1} $$ desde entonces determinado $x\in \bar{S}\setminus S$, se puede elegir $x_n\to x$ y afirmo $f(x_n)$ debe converger a un único límite.

Es esto lo mejor que podemos hacer?

Answer 1

Teorema. Supongamos $Y$ es Hausdorff y deje $f,g : X \to Y$ ser de dos funciones continuas. Si $f=g$$S \subset X$, $f=g$ $\bar{S}$ (y, en particular, en $\partial S$).

Usted puede probar sin filtros o redes o secuencias, es un buen ejercicio. Aquí empieza: vamos a $x \in \bar{S}$, y supongamos lo contrario $f(x) \ne g(x)$. Entonces existen abiertos disjuntos conjuntos de $U \ni f(x)$ $V \ni g(x)$...

Sin asumir algo acerca de $Y$ es falso. Por ejemplo, si $Y$ tiene la topología indiscreta, cada una de las funciones de $X$ $Y$es continua, y no hay nada que te impida jugar con su valor en $\partial S$.

Answer 2

Usted puede omitir el primer countability. Sólo que $Y$ es Hausdorff es necesario. Si $X$ no es la primera contables, que considere los filtros o las redes de convergencia, y por cada $x\in \overline{S}$ hay filtros en $S$/redes $S$ que convergen a $x$. La singularidad de los límites en los espacios de Hausdorff, a continuación, determina el $f(x)$.