Cómo probar que $(A\cup B) \cap C \subseteq A\cup (B\cap C)$

Question

Probar: $(A\cup B) \cap C \subseteq A\cup (B\cap C)$

Cómo puedo ir, se trata de probar esto?

Answer 1

Supongamos $x \in (A\cup B) \cap C$. A continuación,$x\in C$$x\in A\cup B$.

Cualquiera de las $x\in A$ o $x\in B$. Si es en $A$ entonces $A\cup (B\cap C)$. Si es en $B$ entonces $B\cap C$, y hemos terminado.

Answer 2

Una manera posible es volver a escribir como $$ [(x\in A \lor x\in B)\land x\in C] \Rightarrow [x \in A \lor (x\in B \land x\in C)]$$ y para comprobar que $[(p\lor q)\land r] \Rightarrow [p\lor (q\land r)]$ es una tautología.

Otra forma es utilizando diagramas de Venn. (Ver un poco de lo que don respuesta o la wikipedia.)

Otra posibilidad es el uso de algunos hechos que usted ya ha aprendido, como: $A\cap C\subseteq A$ implica $(A\cap C) \cup (B\cap C)\subseteq A\cup (B\cap C)$$(A\cap C) \cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C$.

Answer 3

La etiqueta de cada una de las siete secciones posibles.

Determinar cuales de esos son en (A ∪ B) ∩ C, entonces los que están en A ∪ (B ∩ C).

Cada sección de la lista de (A ∪ B) ∩ C debe estar en la lista para Un ∪ (B ∩ C).