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Ayuda en una prueba sobre los ultrafiltros de Ramsey

Estaba estudiando en esta prueba la implicación 13 . No entiendo por qué {xn,xm}[X]2 y xm>xn implica xmXxn . Creo que no es cierto, creo que, en primer lugar, tenemos que tomar Xn=in,iYXiY pero no puedo arreglar el resto. ¿Puede alguien ayudarme, por favor?


Empiece con una definición: F se llama Ramsey si para cada secuencia descendente {Xn:nω}F existe {xn:nω}F tal que xnXn por cada nω .

Quiero demostrarlo:

Si F es Ramsey entonces para cada conjunto A[ω]2 (pares no ordenados de elementos en ω ) existe XF tal que [X]2A o [X]2A= .

Esta es la prueba: para nω definir Xn:={k>n:{n,k}A} existe YF tal que XnF nY o ωXnF nY . Supongamos que se cumple el primer caso. Para nY definir Xn:=in,iYXi . Aplicar la hipótesis a {Xn:nY} para obtener un conjunto XF . Entonces, si n,mY y xn<xm tenemos xmXxn y así {xn,xm}A .

No entiendo al final, por qué xmXxn .

2voto

Shuaib Nawaz Puntos 118

Esto no es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.

Digamos que un ultrafiltro no principal F en ω es:

  • Ramsey(BJ) si para cada secuencia decreciente Xn de conjuntos en F existe un conjunto {xn|nω}F tal que para cada n , xnXn ;
  • Ramsey(BJ) + si para tal secuencia decreciente Xn el conjunto de xn que obtenemos satisfacen la condición más fuerte de que x0X0 y xn+1Xxn ;
  • Ramsey(J) si para cada partición ω=nZn en conjuntos "pequeños" (es decir, cada ZnF ), existe XF tal que para cada n , |XZn|1 ;
  • Ramsey(R) si para cada coloración c:[ω]22 existe XF tal que |c y
  • Ramsey(R) {}^+ si para cada coloración c : [\omega]^n \to k (para cualquier finito n, k ) existe X \in \mathcal{F} tal que |c''[X]^n| = 1 .

La "BJ" debe hacer pensar en Bartoszynski y Judah, la "J" en Jech y la "R" en Ramsey, ya que las definiciones de Ramsey(R) parecen evidentemente generalizaciones del teorema de Ramsey.

Ahora, Bartoszynski y Judah definen un ultrafiltro de Ramsey como un ultrafiltro de Ramsey(BJ). Y el teorema 4.5.2 de ese texto demuestra esencialmente que Ramsey(BJ), Ramsey(J) y Ramsey(R) son equivalentes (ignorando la cláusula 4 de ese teorema). La prueba que dan de "Ramsey(BJ) implica Ramsey(R)" parece utilizar Ramsey(BJ) {}^+ Sin embargo. Así que, a primera vista, parece que hay un problema.

Por otro lado, Jech, como se puede adivinar, define un ultrafiltro de Ramsey como un ultrafiltro de Ramsey(J). Luego, en el lema 9.2, demuestra que un ultrafiltro es Ramsey(J) si es Ramsey(R) {}^+ . Demuestra la dirección hacia adelante (más difícil) en dos pasos, primero demuestra que Ramsey(J) implica Ramsey(BJ) {}^+ y entonces que Ramsey(BJ) {}^+ implica que Ramsey(R) {}^+ .

Así que (asumiendo que la prueba de Jech es correcta, como lo es el resto de la prueba en Bartoszynski y Judah), sabemos que las cuatro últimas definiciones anteriores son todas equivalentes, y la primera es más débil, pero quizás no estrictamente más débil. Dudo que la definición dada en Bartoszynski y Judah sea un error (aunque supongo que es posible), así que ¿cómo podemos ver que Ramsey(BJ) implica una de las otras cuatro caracterizaciones?

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freespace Puntos 9024

Esto no es una respuesta, pero probablemente sería demasiado largo para un comentario.

Primero algunas definiciones y resultados que he copiado de Bartoszynski-Judah:

Definición 4.4.1 Punto p = ultrafiltro con propiedad de pseudointersección

Lema 4.4.3 : \mathcal F es un punto p \Leftrightarrow para cada partición de \omega , \{Y_n; n\in\omega\} , o bien existe n\in\omega tal que Y_n\in\mathcal F o existe X\in\mathcal F tal que X\cap Y_n es finito para n\in\omega .

Definición 4.5.1 : Un filtro \mathcal F se llama Ramsey si para cada secuencia descendente \{x_n; n\in\omega\}\subseteq\mathcal{F} existe una secuencia \{x_n; n\in\omega\}\in\mathcal F tal que x_n\in X_n para n\in\omega .

\mathcal F se llama punto q si para cada partición de \omega en trozos finitos \{I_n: n\in\omega\} existe X \in \mathcal F tal que |X \cap I_n| \le 1 para n\in\omega .

Teorema 4.5.2

Dejemos que \mathcal F sea un ultrafiltro en \omega . Las siguientes condiciones son equivalentes:

  1. \mathcal F es Ramsey,

  2. para cada partición de \omega , \{Y_n : n\in\omega\} , ya sea Y_n \in \mathcal F para algunos n\in\omega o existe X\in \mathcal F tal que |X_n\cap Y_n| \le 1 para n\in\omega ,

  3. para cada conjunto A\subseteq[\omega]^2 existe X\in\mathcal F tal que [X]^2\subseteq A o [X]^2\cap A=\emptyset ,

  4. \mathcal F es un punto p y un punto q.


Cuando traté de buscar en varias publicaciones (libros, artículos); encontré con bastante frecuencia que Ramsey es equivalente a punto p y punto q. La mayoría de los autores definen los ultrafiltros de Ramsey utilizando 3 (coloraciones). Pero también encontré 2, a veces bajo el nombre de ultrafiltro selectivo.

No encontré la condición 1 en la literatura, lo más cercano que encontré fue:

Lema I.1.4. Un ultrafiltro no principal \mathcal U en \omega es Ramsey si para cada secuencia \{M_i, i\in\omega\}\subseteq \mathcal U existe M \in \mathcal U tal que j \in M_i para todos i < j en M . (En Spiros A. Argyros, Stevo Todorcevic: Ramsey Methods in Analysis).

Varios autores definen los ideales selectivos utilizando la diagonalización, que es muy similar a la condición del Lema I.1.4.

Jech (Set Theory, Millenium Edition) en la prueba del Lemma 9.2 muestran como resultado auxiliar que un sistema decreciente X_n de conjuntos de un ultrafiltro de Ramsey D existe \{a_0<a_1<\dots\}\in D tal que a_0\in X_0 y a_{n+1}\in X_{a_n} .


Creo que tras sustituir su definición de ultrafiltro de Ramsey por alguna de las condiciones anteriores, la prueba de Bartoszynski-Judah podría funcionar; pero todavía no estoy convencido de que su definición sea incorrecta.

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