Esto no es una respuesta, pero probablemente sería demasiado largo para un comentario.
Primero algunas definiciones y resultados que he copiado de Bartoszynski-Judah:
Definición 4.4.1 Punto p = ultrafiltro con propiedad de pseudointersección
Lema 4.4.3 : \mathcal F es un punto p \Leftrightarrow para cada partición de \omega , \{Y_n; n\in\omega\} , o bien existe n\in\omega tal que Y_n\in\mathcal F o existe X\in\mathcal F tal que X\cap Y_n es finito para n\in\omega .
Definición 4.5.1 : Un filtro \mathcal F se llama Ramsey si para cada secuencia descendente \{x_n; n\in\omega\}\subseteq\mathcal{F} existe una secuencia \{x_n; n\in\omega\}\in\mathcal F tal que x_n\in X_n para n\in\omega .
\mathcal F se llama punto q si para cada partición de \omega en trozos finitos \{I_n: n\in\omega\} existe X \in \mathcal F tal que |X \cap I_n| \le 1 para n\in\omega .
Teorema 4.5.2
Dejemos que \mathcal F sea un ultrafiltro en \omega . Las siguientes condiciones son equivalentes:
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\mathcal F es Ramsey,
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para cada partición de \omega , \{Y_n : n\in\omega\} , ya sea Y_n \in \mathcal F para algunos n\in\omega o existe X\in \mathcal F tal que |X_n\cap Y_n| \le 1 para n\in\omega ,
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para cada conjunto A\subseteq[\omega]^2 existe X\in\mathcal F tal que [X]^2\subseteq A o [X]^2\cap A=\emptyset ,
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\mathcal F es un punto p y un punto q.
Cuando traté de buscar en varias publicaciones (libros, artículos); encontré con bastante frecuencia que Ramsey es equivalente a punto p y punto q. La mayoría de los autores definen los ultrafiltros de Ramsey utilizando 3 (coloraciones). Pero también encontré 2, a veces bajo el nombre de ultrafiltro selectivo.
No encontré la condición 1 en la literatura, lo más cercano que encontré fue:
Lema I.1.4. Un ultrafiltro no principal \mathcal U en \omega es Ramsey si para cada secuencia \{M_i, i\in\omega\}\subseteq \mathcal U existe M \in \mathcal U tal que j \in M_i para todos i < j en M . (En Spiros A. Argyros, Stevo Todorcevic: Ramsey Methods in Analysis).
Varios autores definen los ideales selectivos utilizando la diagonalización, que es muy similar a la condición del Lema I.1.4.
Jech (Set Theory, Millenium Edition) en la prueba del Lemma 9.2 muestran como resultado auxiliar que un sistema decreciente X_n de conjuntos de un ultrafiltro de Ramsey D existe \{a_0<a_1<\dots\}\in D tal que a_0\in X_0 y a_{n+1}\in X_{a_n} .
Creo que tras sustituir su definición de ultrafiltro de Ramsey por alguna de las condiciones anteriores, la prueba de Bartoszynski-Judah podría funcionar; pero todavía no estoy convencido de que su definición sea incorrecta.