Largo de la Secuencia Exacta para calcular $H_m(P^n)$.

Question

Yo estaba tratando de calcular la homología de grupos de $P^n$ por inducción usando la larga secuencia exacta de homología (Sin el uso de celulares homología, a pesar de que algunos celulares razonamiento puede ser utilizado, si se justifica, de una manera sencilla sin celular de homología). Quiero demostrar que la $H_m(P^n)=\mathbb{Z_2}$ $m<n$ impar, $\mathbb{Z}$ $m=0$, $0$ para $m$ a y $\mathbb{Z}$ si $m=n$ es impar. El caso de $n=2$ ya ha sido probado y $P^1\cong S^1$. Mi intento:

Vamos primero a $n>1$ ser impar, y supongamos que para cada $k<n$ la homología de grupos como se indicó anteriormente. Luego, con el hecho de que $P^{n-1}\subseteq P^n$ (Como la proyección de los puntos en $S^n$ que tienen un fijo de coordenadas null) y que $P^n/P^{n-1}\cong S^n$ tenemos una larga secuencia exacta de (reducida) de homología: $$\cdots \to H_m(P^{n-1})\to H_m(P^n)\to H_m(S^n)\to H_{m-1}(P^{n-1})\to \cdots$$ y, en particular, teniendo en $m=n$ hemos $$\cdots \to H_n(P^{n-1})\to H_n(P^n)\to H_n(S^n)\to H_{n-1}(P^{n-1})\to \cdots$$ lo que nos da ($n-1$ es incluso), ya que $H_n(P^{n-1})=H_{n-1}(P^{n-1})=0$, la secuencia exacta $$0\to H_n(P^n)\to \mathbb{Z}\to 0$$ y esto le da un isomorfismo entre el$\mathbb{Z}$$H_n(P^n)$.

Del mismo modo, para $1\leq m<n$ $m$ impar (Si este caso es posible), y desde $H_m(P^{n-1})=\mathbb{Z}_2$ tenemos la secuencia exacta $$0 \to \mathbb{Z}_2\to H_m(P^n)\to 0$$ y esto le da un isomorfismo entre el$\mathbb{Z}$$H_n(P^n)$.

Por último, para $1<m<n$ incluso, y desde $H_m(P^{n-1})=H_m(S^n)=0$ tenemos la secuencia exacta $$0 \to H_m(P^n)\to 0$$ lo que significa que $H_m(P^n)=0$.

Así, por $n$ impar el trabajo está hecho.

Para $n$ incluso, tengo que probar a hacerlo de igual manera, pero hay un problema.

Del mismo modo, tome $n$ aun y supongamos que para cada $k<n$ la homología de grupos como se indicó anteriormente. A continuación, tome el largo de la secuencia exacta: $$\cdots \to H_m(P^{n-1})\to H_m(P^n)\to H_m(S^n)\to H_{m-1}(P^{n-1})\to \cdots$$ Para $1\leq m< n-1$ impar tenemos $H_m(P^{n-1})=\mathbb{Z}_2$$H_m(S^n)=0$. También se $H_{m+1}(S^{n})=0$. Así que tenemos la secuencia exacta $$0 \to H_m(P^{n-1})\to H_m(P^n)\to 0$$ lo que da un isomorfismo entre el$H_m(P^{n-1})$$H_m(P^n)$, por lo que ambos de ellos son $\mathbb{Z}_2$. Para $1<m<n$ aún tenemos, ya $H_m(P^{n-1})=0$$H_m(S^n)=0$, la secuencia de $$0\to H_m(P^n)\to 0$$ que los resultados en $H_m(P^n)=0$.

La homología de grupos no hemos calculado sin embargo, son sólo los que están en el inicio de la larga secuencia exacta, que es, desde el $H_n(P^{n-1})=0$, $$0\to H_n(P^n)\to \mathbb{Z}\stackrel{\partial}{\to} \mathbb{Z}\to H_{n-1}(P^n)\to 0.$$

Así que yo quiero probar el homomorphism $\partial$ es simplemente la multiplicación por $2$. También puedo ver esto como $\partial:H_n(P^n,P^{n-1})\to H_n(P^{n-1})$ y $\partial: H_n(S^n)\to H_n(P^{n-1})$, entonces tengo que elegir un generador de dominio y ver su imagen. Pero no estoy seguro de cómo puedo hacer eso.

Answer 1

La conexión de mapa de $\delta$ ascensores de un ciclo en $S^n$ a una preimagen en $P^n$, posteriormente se lleva a su límite, como un elemento de $P^{n-1}$.

Así, por $\delta: H_n(S^n)\rightarrow H_n(P^{n-1})$, que levante la generación de la clase $[c]$ $H_n(S^n)$ sí a la pelota con límite que es el cierre de $P^n\setminus P^{n-1}$. Por lo tanto $\delta([c])$ luego $d\cdot [b]$ donde $[b]$ genera $H_{n-1}(P^{n-1})$, e $d$ es el grado de la cobertura $S^{n-1}\rightarrow P^{n-1}$, el tratamiento de la $S^{n-1}$ como el límite de esta bola de pre-cociente.