Propiedad de $2^n+1=xy$

Question

Me preguntaba si lo siguiente era cierto. Tiene sentido, pero tengo problemas para inventar cualquier razonamiento formal.

Deje que $2^n+1=xy$ para algunos números enteros $x,y>1$ y $n>0$ . Para $a \in\mathbb {Z}^+$ ¿lo hace $2^a \mid (x-1)$ $ \iff $ $2^a \mid (y-1)$ ?

Sin pérdida de generalidad, sólo hay que probar una dirección. Sin embargo, no estoy seguro de cómo abordar el problema. Aquí está mi intento: Supongamos que $2^a \mid (x-1)$ . Luego $x \equiv 1$ mod $2^a$ así que $$y \equiv xy=2^n+1 \equiv 2^r+1 \hspace {5mm}( \text {mod }2^a), \hspace {5mm} \text { where $ 0 \leq r<a $}.$$ Estoy teniendo problemas para continuar desde aquí, ya que no conozco ninguna información extra para determinar $2^r \equiv 0$ mod $2^a$ . No parece que eso pueda ser cierto para la arbitraria $a \in\mathbb {Z}$ así que debo haberme desviado horriblemente del camino. ¡Agradezco cualquier ayuda!

Answer 1

Asumiré $a \ge 1$ y $2^a \mid (x-1)$ .

$2^n$ es cero mod $2^a$ . Esto es porque $a < n$ si no, tendrías $2^n \mid 2^a$ así que $2^n \mid (x-1)$ . En particular, $2^n \le x-1$ que no se puede mantener, ya que $2^n = xy - 1 > x - 1$ .

Por lo tanto, su argumento da $y = 2^n + 1 = 1 \mod 2^a$ .

Answer 2

• Si $a \le n$ y $xy=2^n+1$ Entonces $x \equiv1 $ implica $$ \begin {array}{c l} y & \equiv yx \\ & \equiv 2^n+1 \\ & \equiv 2^{n-a}(2^a)+1 \\ & \equiv2 ^{n-a}(0)+1 \\ & \equiv 1 & \mod 2^a \end {array}$$ y por lo tanto $2^a \mid (x-1) \implies 2^a \mid (y-1)$ . La implicación inversa se mantiene por la simetría (simplemente intercambiando los papeles de $x$ y $y$ ), así que esto es de hecho una equivalencia material.
• Si $a>n$ y $xy=2^n+1$ Entonces $2^a>2^n= xy-1> x-1$ y por lo tanto $2^a \mid (x-1)$ lo que significa $x=1$ en cuyo caso $y \equiv2 ^n+1 \equiv 1 \bmod 2^a \iff 2^n \mid 2^a$ y por lo tanto es verdad.

Answer 3

Deberías haber $2^n \equiv 0$ mod $2^a$ en lugar de $2^n \equiv 2^r$ mod $2^a$

Answer 4

Deje que $x=2^ac+1\ and\ y=2^bd+1$ donde c,d son números naturales de impar y a≥b>0. Así que.., $(2^n+1)=xy=(2^ac+1)(2^bd+1)$ => $(2^n+1)=xy=(2^{a+b}cd+ 2^ac+ 2^bd +1)$ => $2^n=(2^{a+b}cd+ 2^ac+ 2^bd)$ => $2^{n-b}=(2^acd+ 2^{a-b}c+ d)$ . =>d= $2^{n-b}-2^acd+ 2^{a-b}c\ $ será parejo a menos que a=b. Por lo tanto, si $(2^n+1)$ tiene un factor de la forma $2^ac+1$ el otro debe ser de la forma $(2^bd+1)$ donde c, d son los números naturales de impar.

Answer 5

Pista $\ $ Caso $ \rm\ , 1\!:\ \, 2^a \mid 2^n,\, \ so\ \ mod\ 2^a\!:\,\ xy \equiv 1+2^n \equiv 1,\ $ así que $ \rm\ ,\ x \equiv 1 \iff y \equiv 1.\ $

Caso $ \rm\ ,2\!:\ \ 2^n \mid 2^a,\,$ así que $ \rm\ :xy\!-\!1 = 2^n \mid 2^a \mid x\!-\!1\: \Rightarrow\ :y=1 \Rightarrow\Leftarrow\ ,$ (por $ \rm\ :xy\!-\!1 > x\!-\!1\:$ para $ \rm\ :y>1).$