¿Convergen lo $\lim \limits_{n\rightarrow \infty }\sum \limits_{k=0}^{n} {n \choose k}^{-1}$ para (si converge)?

Question

¿Cómo podemos mostrar si la suma de $$\lim{n\rightarrow \infty }\sum{k=0}^{n} \frac{1}{{n \choose k}} converge y luego encontrar el resultado de la suma si converge?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

$$\begin{align} \sum{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k}} &=2+\frac2n+\sum{k=2}^{n-2}\frac1{\binom{n}{k}} \end {Alinee el} $$sin embargo$$ \begin{align} \sum{k=2}^{n-2}\frac1{\binom{n}{k}} &\le\frac{n-3}{\binom{n}{2}}\ &=\frac{2(n-3)}{n(n-1)}\[9pt] &\to0 \end {Alinee el} \lim{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k}}=2 $$ así

Answer 2

Cada $n\geqslant4$, los dos términos extremos son $\frac11$ los dos términos al lado de ellos son $\frac1n$ y cada uno de los términos de $n-3$ restante a más $\frac2{n(n-1)}$, es por lo tanto el $n$th suma $S_n$ es tal que $$2\leqslant S_n\leqslant2+\frac2n+\frac2{n(n-1)}(n-3) \lt2+\frac4n.$$ % Particular, $S_n\to2$.