Demostrar que .

Question

En el pensamiento sobre una base de caso en este problema, se me ocurrió la siguiente pregunta.

Dado los números reales $a \ge b \ge c \ge d \ge 0$, probar que la siguiente se tiene:

$a^2 - b^2 + c^2 - d^2 \ge (a - b + c - d)^2 \tag{A}$

Mi intento:

Después de la simplificación, esto se reduce a demostrar la desigualdad: $\underbrace{ab}_{(1)} + \underbrace{bc}_{(2)} + \underbrace{cd + da}_{(3)} \ge \underbrace{ac}_{(1)} + \underbrace{bd}_{(2)} + \underbrace{b^2 + d^2}_{(3)} \tag{B}$

Traté de ataque pares de términos de forma individual. Esto dio pares de $(1)$ $(2)$ que está satisfecho el $\ge$ relación, ya que $ab \ge ac \implies b \ge c$ verdadero y $bc \ge bd \implies c \ge d$ cierto.

Pero luego me quedé atrapado en demostrar par $(3)$ satisfecho $\ge$ relación. Que es $cd + da \ge b^2 + d^2 \tag{C}$

Resultó que $(C)$ no se mantienen en general. Por ejemplo, $(a, b, c, d) = (5, 4, 3, 2)$ da $3 \cdot 2 + 2 \cdot 5 \ge 4^2 + 2^2 \implies 16 \ge 20$ falso.

Por lo tanto, mi estrategia era incorrecta. Agradecería si alguien podría enseñarme el enfoque correcto para demostrar (a) o (B).

Actualización: Consulte este para una generalización de este problema.

Answer 1

La pregunta es equivalente a $$2 d (a-b+c)+2 (a-b) (b-c)-2 d^2\geq 0.$ $ el segundo término de término es obviamente $\geq 0$. Mientras tanto, el primer término y el tercer término se pueden factorizar como $2 d (a-b+c-d)$, que también es $\geq 0$.

Así la expresión completa es $\geq 0$.

Answer 2

Este es un método sin expandir todo: $$\begin{align}(a^2-b^2)+(c^2-d^2)&\ge((a-b)+(c-d))^2\ (a-b)(a+b)+(c-d)(c+d)&\ge(a-b)^2+(c-d)^2+2(a-b)(c-d)\ (a-b)(a+b-(a-b))+(c-d)(c+d-(c-d)&\ge2(a-b)(c-d)\ (a-b)b+(c-d)d&\ge(a-b)(c-d)\ (a-b)(b-c+d)+(c-d)d&\ge0\end {Alinee el} $$ y eso es obvio. Si quieres ver cuando igualdad, considerar todas las $4$ casos:

• $a=b$ y $c=d$
• $a=b$ y $d=0$
• $b=c-d$ y $d=0$, $b=c$ y $d=0$
• $b=c-d$ y $c=d$, esto implica $b=c=d=0$ y ya se maneja por el caso anterior.

Answer 3

Un estándar truco para un problema como este es para hacer una sustitución de variables, lo que simplifica el problema de alguna manera; es de esperar que usted golpea en una sustitución que hace el problema más susceptibles. Una idea para la sustitución de un producto es simplificar la condición de que $a\geq b\geq c\geq d\geq 0$, y podemos hacer esto mediante la definición de nuevas variables que representan la diferencia entre consecutivos variables originales: \begin{align} x &= a - b \\ y &= b - c \\ z &= c - d. \end{align} El uso de las nuevas variables, encontramos que la condición se vuelve $x,y,z,d\geq0$. Siguiente, reemplazar $a$, $b$, y $c$ en la desigualdad de ser probado (estamos trabajando hacia atrás aquí). La del lado izquierdo se convierte en \begin{align} a^2 - b^2 + c^2 - d^2 &= (a-b)(a+b) + (c-d)(c+d) \\ &= x\cdot [(x+y+z+d) + (y+z+d)] + z\cdot [(z + d) + d] \\ &= x^2 + 2xy + 2xz + 2xd + z^2 + 2zd \\ &= (x^2 + 2xz + z^2) + 2xy + 2xd + 2zd. \end{align} El lateral derecho se convierte en $$ (a-b + c-d)^2 = (x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2. $$ Con las nuevas variables, la desigualdad es obvia! En particular, vemos que la igualdad ocurre si, y sólo si $xy + xd + zd = 0$, es decir, si y sólo si uno de los siguientes es verdadera:

• $x=0$ y, o bien $z=0$ o $d=0$
• $y=0$ $d=0$.

En otras palabras, estas condiciones de decir que

• $a=b$ y, o bien $c=d$ o $d=0$
• $b=c$ $d=0$.