Demostrar que el límite existe

Question

Que $T : H \rightarrow H$ es un linear continuo unitario ($T^*=T^{-1}$), $H$ es un espacio de Hilbert (no necesario). Supongamos

1. $\forall h \in H \Rightarrow Th=h$
2. $T_n$ - una secuencia de operadores lineales $T_n \underset{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} T$, $|| T_n - T||\rightarrow 0$. Así suele la secuencia $T_n$ $T$ en la norma y tenemos $\forall h \in H \ \ || T_n h - T h|| \leq || T_n - T|| \ ||h||\rightarrow 0$.

¿Podemos demostrar que existe un límite de la suma de $S_n= \frac{1}{n}\left( T_1 h + T_1 T_2 h + \dots + T_1 \dots T_n h \right)$ donde $n \rightarrow \infty$?

Answer 1

Hay varios casos:

• el límite existe y es $0$ (cuando $T_j=\left(1-\frac 1{j+1}\right)I$);
• el límite existe y es la identidad (cuando $T_j=I)$;
• el límite no existe (cuando $T_j=\left(1+\frac 1{\log(j+1)}\right)I$).