Mi pregunta se refiere a la Conley la teoría topológica de los flujos y su conexión a los clásicos de la teoría de Morse en compacto de los colectores.
En concreto, tengo en mente Conley y Zehnder del trabajo seminal de Morse-Índice de tipo de la Teoría de Flujos y Periódico de las Soluciones de las Ecuaciones de Hamilton (secciones 3.3 y 3.6 / páginas 60 y 74 a 76 en números impresos).
En la sección 3.6, quieren probar la clásica Morse desigualdades mediante la aplicación de Conley la teoría del flujo de gradiente de una función de Morse $f$. En su mayoría todo es sonido acerca de que, excepto por una cosa. Es decir, en la sección 3.3, justo después de la ecuación (3.10), se ha hecho la suposición de que ciertos (Cech) cohomology módulos de $H^j(X,Y)$ son de rango finito. El $X$ $Y$ aquí se establece $N_0 \subset N_1 \subset \cdots N_n$ de una "filtración" de un llamado Morse composición de $M$ que es específico para el flujo. Lo que me molesta es que esta suposición de rango finito es nada demostrado. Sé cómo demostrarlo en una caso especial, pero sólo con los resultados clásicos de la teoría de Morse! Significado, de esta manera su tratamiento no equivale a una prueba de la clásica Morse desigualdades que es independiente del tratamiento clásico (CW complejos, etc.) como en Milnor del libro.
Para elaborar esta, aquí es cómo puedo demostrar con los resultados clásicos en el suficiente caso especial: Para el flujo de gradiente, el Morse de descomposición es la colección de puntos críticos $x_1,\dots,x_n$ de la función de Morse $f$, ordenó a la menor por su valor en $f$. Si no hay ningún valor crítico tiene dos diferentes puntos críticos en su pre-imagen, uno puede tomar para $N_1, \dots, N_n$ el super-level ajusta a los valores críticos (menos $\varepsilon$), y $N_0=\emptyset$. Entonces es fácil ver cómo la finitud de estos cohomology módulos se sigue de los teoremas clásicos de la teoría de Morse. (Tal vez hay un menor error en la descripción de mi aquí, pero esta es la idea).
Mi pregunta ahora es: ¿hay otro, independiente de la manera de probar la finitud de rango?
Edit: En la sección 3.6, la finitud es demostrado en general para $H^j(N_j, N_{j-1})$ utilizando el lema de Morse, que es elemental. Lo que queda por demostrar es la finitud de $H^j(N_j, N_0)$, $(N_j, N_0)$ ser un índice par y no para un de punto crítico, sino para el conjunto de todos los puntos de $x_0, \dots, x_j$ junto con el flujo de las líneas de comunicación entre ellos. //
Quiero decir, estamos tratando con un colector y con un buen flujo, por lo que quizás sea más fácil consideraciones suficiente. Por otro lado, la clásica de la teoría de Morse es, en cierto modo, tan sencillo como parece.
Por cierto, el problema es el mismo en Conley las notas de la conferencia Aislado Conjuntos Invariantes y el Morse Índice (en la parte inferior de la página 78 y 79, en números impresos). Aquí también sólo postula la finitud sin prueba y dice que el Morse desigualdades seguir.
Gracias por leer, estoy muy agradecido por cualquier ayuda y sugerencia que usted tenga.
