Deje $Ax = 0$. A continuación, vamos a $x_i = \arg \max |x_j|$ es decir $i$ es tal que $|x_i| \geq |x_j|$ para todos los $i \neq j$. Por supuesto, si $x \neq 0$ entonces $|x_i| > 0$.
Tenga en cuenta que $Ax = 0$ implica que $A_i \cdot x = 0$, donde $A_i$ indica el $i$ésima fila de a$A$, como un vector. Esto se deduce de la definición de multiplicación de matrices.
Sin embargo, $A_i \cdot x = \sum_{j} A_{ij}x_j$. Por definición, tenemos $|x_i| \geq |x_j|$ para todos los $j$, por lo que escribir $$A_i \cdot x = A_{ii}x_i + \sum_{j \neq i} A_{ij}x_j$$ and use the inequality $|x+y| \geq |x| - |y|$, a ver que :
$$
|A_i \cdot x| \geq |A_{ii}x_i| - \left|\sum_{j \neq i} A_{ij}x_j\right|
$$
Pero, sabemos que el $|x_j| \leq |x_i|$, por lo que se deduce que $$|\sum_{j \neq i} A_{ij}x_j| \leq \sum_{j \neq i} -A_{ij}|x_j| \leq -|x_i|\sum_{j \neq i}A_{ij}$$.
Por lo tanto,
$$
|x_i|A_{ii} - \left|\sum_{j \neq i} A_{ij}x_j\right| \geq |x_i| \times \sum_{j} A_{ij} > 0
$$
Que es una contradicción, ya que $A_i \cdot x = 0$. En consecuencia, no $x$ existe.
Más se puede decir. De hecho, la Gerschgorin círculo teorema garantiza que cada autovalor se encuentra con un Gerschgorin disco, cuyo centro es una de las entradas de la diagonal, y el radio es la suma de los valores absolutos de la no-diagonal entradas de la fila. En este caso, por las condiciones dadas, el teorema de da que no autovalor de hecho, puede ser menor que el menor valor de $\sum_{j} A_{ij}$, que es mayor que $0$. Así de esta manera el resultado es claro.
También, la matriz con las condiciones dadas es estrictamente diagonal dominante, y de la Gerschgorin círculo es el teorema de no-singular (conocido como el impuesto-Desplanques teorema, y tener las aplicaciones de la probabilidad).
