¿Cuáles son las ecuaciones escalares de velocidad y desplazamiento si aceleración obedece a la ley del inverso cuadrado?

Question

Básicas de la física en la escuela secundaria/cálculo de saber que usted puede formular las ecuaciones para la velocidad y el desplazamiento bajo la aceleración constante como:

$a(t) = a_0$

$v(t) = a_0t + v_0$

$x(t) = \frac{1}{2}a_0t^2 + v_0t + x_0$

Mi pregunta es ¿cómo formular una ecuación similar cuando la aceleración depende del inverso del cuadrado de la distancia de un punto, como la Ley de Coulomb o Isaac Newton del inverso del cuadrado de la ley de la gravitación universal?

Donde:

$a(x) = k/x^2$

$v(t) = ? + v_0$

$x(t) = ? + x_0$

También me imagino que no puede haber ninguna solución como $x$ se aproxima a cero y la aceleración tiende a infinito. Pero supongamos que tenemos dos cargas positivas sentado en reposo a cierta distancia $r$ lejos el uno del otro en un sinfín de espacio. ¿Cuál será su desplazamiento a ser en algún momento posterior a$t$?

Answer 1

Desde <span class="math-container">$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}=v\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}(\frac{1}{2}v^2)$</span>, integración da <span class="math-container">$v^2=v\infty^2-\frac{2k}{x}$</span>. Entonces <span class="math-container">$t=\int\frac{dx}{v}=\int\frac{dx}{\sqrt{v\infty^2-\frac{2k}{x}}}$</span>. Si usted evalúa que integral (sugerencia: sustituir <span class="math-container">$x=\frac{2k}{v_\infty^2}\csc^2\theta$</span>), vas a tener <span class="math-container">$t$</span> en función de <span class="math-container">$x$</span>, no la otra manera alrededor.