Sé que esto es una pregunta de matemática; sin embargo, los físicos son más propensos a estar familiarizados con lo que estoy haciendo (también, estoy directamente tratando de utilizar en el contexto de la relatividad general).
Yo podría haber redactado esta pregunta inicialmente un poco hacia atrás. Dado algunas métricas, soy esencialmente tratando de averiguar cómo se puede recuperar el grupo de propiedades asociadas con esa métrica.
Me imagino que el tensor localmente se adhiere a las propiedades de la Mentira álgebra correspondiente al grupo en el que nuestro tensor cae en topológicamente, sin Embargo, yo estoy claro exactamente cómo iba a manifestar.
Mi primer pensamiento es el de dar con una descomposición de la métrica en la gamma de las matrices. Como es bien sabido, uno puede descomponer una métrica $g_{\mu\nu}$ en gamma matrices $\gamma_{\mu}$ tal forma que:
$$Ig_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\left(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}\right)=\frac{1}{2}\left\{ \gamma_{\mu},\gamma_{\nu}\right\} $$
Donde I es la matriz identidad. Todo esto es bastante estándar (tenga en cuenta que NO lo estoy usando tetrad/verbein marcos, por lo tanto estos son generalizada gamma matrices).
Para la métrica de Minkowski $R^{3,1}$ (denotado $\eta_{\mu\nu}$) el colector de la gamma matrices
$$\sigma_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\left(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}-\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}\right)=\frac{1}{2}\left[\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}\right]$$
resultan ser los generadores infinitesimales de la transformación de Lorentz (es decir, elementos del grupo de álgebra). En este caso también resulta ser la Mentira de grupo $O(3,1)$ asociado con el espacio de Minkowski
Dada la forma bilineal asociada con la métrica de Minkowski, el grupo correspondiente se desprende directamente de la teoría ....El grupo apropiado es O(3,1), en este contexto se llama el grupo de Lorentz. Espacio de Minkowski-Wikipedia
Estos a su vez pueden ser exponentiated para formar los elementos del Grupo de Lorentz (si estoy recordando correctamente?):
$$T_{\nu}=exp(\theta^{\mu}\sigma_{\mu\nu})$$
Así, por espacio de Minkowski hemos recuperado el grupo de propiedades de el colector de examen de las propiedades de la métrica tensor (o a lo mejor es la descomposición).
¿Qué acerca de un $SU(2)$ (representado como el colector de una 3-esfera) o una métrica que es parte de una más general de la Mentira de grupo? ¿Alguien sabe si el tensor métrico todavía lleva estas propiedades? Había tenido la esperanza de utilizar esto para resolver algunos siempre tan divertido problemas que yo había estado trabajando.
Ulitimately estoy tratando de aplicar esto a un caso específico de compacto de Lie del grupo de productos, a saber: $SU(2)xU(1)$. De acuerdo con s. arpa del comentario debajo de este es suficiente para asegurar un bi-invariante métrica (aunque francamente no estoy seguro). En un intento de la dirección de comentarios a continuación voy a tratar de ilustrar lo que he estado haciendo:
Me voy a centrar en $SU(2)$ por el momento. Desde el Peter-Weyl Teorema, sabemos que:
$$L^{2}(S^{3})=L^{2}(SU(2))$$
Lo que nos permite representar los objetos en los tres esfera en términos de representaciones irreducibles de $SU(2)$ en la dimensión=3 (esto es sólo la generalización de la transformada de Fourier tipo de expansión de la Serie de grupos compactos).
Por lo tanto nuestra métrica puede ser representado por tensor de armónicos en los tres ámbitos:
$$g_{\mu\nu}=\sum_{k,l,m}^{\infty}A^{klm}Y_{\mu\nu}^{klm}$$
Esto hace que parezca como si cualquier métrica que se homeomórficos a la deformación continua de ) $S^3$ está representado por una suma de la ponderación de representaciones irreducibles de $SU(2)$. Una situación como esta se discute aquí la 4ª página 3 párrafo
Así que sería de esperar de la estructura del grupo de $SU(2)$ a desempeñar un papel central en las propiedades del tensor métrico (tales como la gamma de la matriz de descomposición se mencionó anteriormente). Todo lo que puedo figura es la de un general de la métrica homeomórficos a $S^3$ cada gamma de la matriz en realidad sería una suma de diferentes irrreps correspondiente a la expansión de la serie.
Tal vez me haya más anclados en mí en esto?
NOTA: yo estoy cada vez más profundamente familiarizado con la teoría de grupos (con mucho retraso). Me sale que la gamma matrices forman un álgebra de Clifford, pero en realidad, no he conseguido que la medida de la manera en la que se refiere a cualquier pertinentes Mentira grupos.
Cualquier respuesta o la dirección hacia un libro que aborda este tema sería muy apreciada.
