Cohomología computacional del grupo diedro en detalle.

Question

Así que traté de calcular el cohomology de $D_{2n}$, para n impar , $H^{k}(D_{2n}, \Bbb Z)$. el uso de Lyndon SS. He obtenido algunos obstáculos:

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Mi cálculo, utilizando el hecho de que hay un $C_2$ acciones $H^q(C_m, \Bbb Z)$, demuestra que mi $E_2^{pq}$ página se parece a esto:

$$ \Bbb Z/m \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad \cdots $$ $$ \cdots 0 \cdots $$ $$ \cdots 0 \cdots $$ $$ \cdots 0 \cdots $$ $$ \Bbb Z/m \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad \cdots $$ $$ \cdots 0 \cdots $$ $$ \cdots 0 \cdots $$ $$ \cdots 0 \cdots $$ $$ \Bbb Z \quad 0 \quad \Bbb Z/2 \quad 0 \quad \Bbb Z/2 \quad 0 \quad \cdots $$

Es esto correcto?

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Sospecho que la correcta $E_2$ página es más o menos similar. Pero sigo sin estar claro cómo se da $H^k(D_{2n},\Bbb Z)$.

a) ¿Cómo es esto $E_2$ página relativa a $H^k(D_{2n},\Bbb Z)$? Yo sólo conozco el caso, cuando en la página 2 se colapsa a un eje.

b) supongo que uno tiene que mostrar todas diferencial se $0$ a calcular $E_\infty^{p,q}$. En mi caso es simple, ya que todos son $0$.

c) Incluso si sabemos que el $E_\infty$ página no esta $H_n$ - sin duda no podemos simplemente tomar la suma directa? **

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** Suponiendo que mi calucations eran correctos - entonces podemos ir a la c) directamente: Lo que tenemos aquí es la relación al $n \equiv 0 \pmod 4$ $$ 0 \rightarrow C_2 \rightarrow H^n \rightarrow C_m \rightarrow 0 $$

Answer 1

Su $E_2$ página es correcta.

Para continuar, observe que todo distinto de cero en su $E_2$ página se encuentra en algunas incluso bidegree $(2p,2q)$, y que la calificación de la diferencia de $d^i$ sobre el $E_i$ página es de bidegree $(1-i, i)$, y, en particular, cambios en la paridad de al menos uno de los grados; en particular, $d^i$ debe ser idéntica a cero para todos los $i$. Por lo $E_2 = E_\infty$. Esto siempre es cierto para espectral secuencias cuyos elementos se concentran en bidegrees $(p,q)$ con $p+q$ incluso.

A continuación, vamos a recordar lo que significa que este espectro de la secuencia converge: el cálculo de la parte de que significa que la homología de grupos de $H^k(D_{2n}, \Bbb Z)$ tienen una filtración $0 = F^0 \supset \cdots \supset F^i \supset F^{i+1} \supset \cdots$ y el asociado graduales $$\text{gr}^p H^{p+q}(D_{2n}, \Bbb Z) = E^{p,q}_\infty.$$

Para nosotros, en las líneas de con $p + q = 4n+2$, vemos que sólo hay un trivial subquotient $F^p/F^{p+1}$, y, en particular, $H^{4n+2} = E_\infty^{4n+2,0}$.

En las líneas con $p + q = 4n >0$, tenemos dos términos. No es $E_\infty^{4n,0} = F^0/F^1 H^{4n}$; porque no hay nada hasta que $q = 4n$, podemos ver que $F^1 = F^2 = \cdots = F^{4n}$, pero que $F^{4n+1} = 0$, y por lo tanto $F^{4n} = E_\infty^{0,4n}.$

En particular, tenemos una breve secuencia exacta $0 \to E_\infty^{0,4n} \to H^{4n} \to E_\infty^{4n,0} \to 0$. La resolución de este es el caso más sencillo de lo que normalmente se denomina "solución de un problema con la extensión". Si hay más de dos distinto de cero términos en la $p+q = n$ línea, entonces uno tiene que resolver estos de forma iterativa, a partir de $E_\infty^{0,4n}$ y el caminar abajo de la línea.

En este caso particular, $E_\infty^{4n,0} = \Bbb Z/2$, e $E_\infty^{0,4n} = \Bbb Z/m$ donde $m$ es impar. Extensiones de abelian grupos donde el subgrupo y el cociente son de coprime orden siempre dividida, y así, en particular, $H^{4n} = \Bbb Z/2 \oplus \Bbb Z/m \cong \Bbb Z/2m$ en este caso.

Si usted también está interesado en la estructura multiplicativa, uno puede escribir este anillo como $\Bbb Z[c_1, c_2]/(2c_1, c_1^2 = mc_2)$, siguiendo la estrategia de esta respuesta para $S_3 = D_6$; no hay ninguna diferencia esencial entre ese caso y $D_{4n+2}$ en general. Aquí $|c_1| = 2$ e $|c_2| = 4$.