Probar la secuencia geométrica $(r^n)$ es de Cauchy si $|r|<1$

Question

Supongamos, hacia una contradicción, que $(r^n)$ no es de Cauchy. A continuación, $\exists \epsilon >0$ tal que para cada a$n\in \mathbb{N}$, $\exists m > n$ tal que $|r^m - r^n| \geq \epsilon$. A continuación, $|r^n| > |r^n(r^{m-n} - 1)| = |r^m - r^n| \geq \epsilon$.

Esto es lo más lejos tengo asumiendo única y exclusivamente la que la sucesión está acotada por -1 y 1, lo que no estoy seguro si se me permite asumir.

La pregunta está en el final de un capítulo que va sobre secuencias de Cauchy, y cómo nos permiten definir los productos de reales mostrando que para $x,y\in \mathbb{R}$, $\lim_{n\rightarrow \infty} (x_ny_n)$ converge, donde $(x_n), (y_n)\subset \mathbb{Q}$ convergen a $x,y$ respectivamente.

Cualquier ayuda se agradece.

Edit: Ya $|r|< 1$, $|r|= (1 - k)$ para algunos $0<k<1$, lo $r^{n+1} = r^n(1-k) < r^n$, y la sucesión es estrictamente decreciente. Desde $(|r^n|)$ está delimitado por debajo de 0, la secuencia debe converger, por lo que la sucesión es de Cauchy.

Answer 1

Sabes que cada secuencia convergente es de Cauchy.

También sabe usted que la secuencia geométrica con <span class="math-container">$|r| es convergente.</span>

Por lo tanto la secuencia geométrica con <span class="math-container">$|r| es Cauchy.</span>

Answer 2

Tenga en cuenta que si <span class="math-container">$n >m$</span> y <span class="math-container">$|r|^n = |r|^{n-m} |r|^m .</span>

Que <span class="math-container">$\epsilon>0$</span> y <span class="math-container">$N$</span> es tal que el <span class="math-container">$(1+|r|)|r|^N . Entonces si <span class="math-container">$m,n \ge N$</span> tenemos (suponiendo que <span class="math-container">$n\ge m$</span> sin pérdida de generalidad) que <span class="math-container">$|r^n-r^m| = |r|^m||r^{n-m}-1| \le |r|^m (1+|r|) \le (1+|r|)|r|^N .</span></span>

Answer 3

Tenemos, $m \ge n$,

$\vert r^n - r^m \vert = \vert r^n(1 - r^{m - n}) \vert = \vert r^n \vert \vert 1 - r^{m - n} \vert = \vert r \vert^n \vert 1 - r^{m - n} \vert; \tag 1$

también, de nuevo con $m \ge n$,

$\vert 1 - r^{m - n} \vert \le \vert 1 \vert + \vert r^{m - n} \vert = 1 + \vert r \vert^{m - n} \le 2; \tag 2$

combinamos (1) y (2) y encontrar

$\vert r^n - r^m \vert \le 2\vert r \vert^n; \tag 3$

ahora con $n$ suficientemente grande tenemos

$2 \vert r \vert^n < \epsilon \tag 4$

para cualquier $0 < \epsilon \in \Bbb R$; de hecho, (4) se obtiene cuando

$\ln 2 + n \ln \vert r \vert < \ln \epsilon, \tag 5$

o

$n \ln \vert r \vert < \ln \epsilon - \ln 2 = \ln \left ( \dfrac{\epsilon}{2} \right ), \tag 6$

o, desde la $\vert r \vert < 1$ implica $\ln \vert r \vert < 0$,

$n > (\ln \epsilon - \ln 2) / \ln \vert r \vert = \ln \left ( \dfrac{\epsilon}{2} \right ) / \ln \vert r \vert; \tag 6$

por lo tanto, dado $\epsilon$, teniendo en $N \in \Bbb N$ tales que

$N > \ln \left ( \dfrac{\epsilon}{2} \right ) / \ln \vert r \vert; \tag 7$

nos encontramos con que

$m \ge n > N \Longrightarrow \vert r^n - r^m \vert < \epsilon, \tag 8$

es decir, que $r^n$ es de Cauchy.

En realidad, nuestros OP hiroshin el enfoque no es tan lejos, ya que mediante la toma de $n$ lo suficientemente grande obtendremos $\vert r \vert^n < \epsilon$, una contradicción determinante.