¿Cuál es la probabilidad de que haya tres resultados consecutivos X y dos resultados Y en un evento?

Question

Tengo N número de días en los que tres eventos diferentes X,Y,Z puede ocurrir en cada día. A es un conjunto de posibles ocurrencias de longitud N . Quiero calcular el número de formas en que:

1. Y NO ocurre dos o más veces en este número de días N
2. X NO ocurre tres veces consecutivas en este número de días N

Por lo tanto, una forma aceptable en la que N=5 es A=[Z,Z,Z,Y,Z] . Una forma inaceptable es cuando A=[X,X,X,Z,Z] .

Sólo iba a encontrar el número de días en que Y puede ocurrir dos veces, más el número de días en que x sucede tres veces consecutivas, sumar entonces y restar eso del número total de días posibles, pero eso no me daría la respuesta correcta porque es posible que haya solapamiento en esos días. No recuerdo la fórmula correcta que necesito.

Answer 1

A) Y no puede aparecer dos o más veces

Entonces
- si Y no aparece, nos quedamos con una cadena binaria (X,Z) de longitud $n=N$ ;
- si Y aparece una vez, al eliminarlo, nos quedamos con dos cadenas binarias (X,Z) de longitud $n$ y $N-n-1$ con $0 \le n \le N-1$ .

b) La cadena no contiene una (o más) tiradas de tres (o más) X consecutivas

Consideremos una cadena binaria con $s$ $X\; \leftrightarrow \,1$ y $m$ $Z\; \leftrightarrow \,0$ en total.
El número de estas cadenas en las que los recorridos de las cadenas consecutivas unos tienen una longitud no superior a $r$ viene dada por $$N_{\,b} (s,r,m+1) = \text{No}\text{. of solutions to}\;\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant \text{integer }x_{\,j} \leqslant r \hfill \\ x_{\,1} + x_{\,2} + \cdots + x_{\,m+1} = s \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ que es igual a $$ N_b (s,r,m + 1)\quad \left| {\;0 \leqslant \text{integers }s,m,r} \right.\quad = \sum\limits_{\left( {0\, \leqslant } \right)\,\,k\,\,\left( { \leqslant \,\frac{s}{r}\, \leqslant \,m + 1} \right)} {\left( { - 1} \right)^k \left( \begin{gathered} m + 1 \\ k \\ \end{gathered} \right)\left( \begin{gathered} s + m - k\left( {r + 1} \right) \\ s - k\left( {r + 1} \right) \\ \end{gathered} \right)} $$ como se explica detalladamente en este y este otros puestos.

En nuestro caso $r=2$ y para una cadena de longitud $n$ pondremos $m=n-s$ y la suma para $0 \le s \le n$ $$ S(n)\quad = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,s\,\left( { \le \,n} \right)} {\sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,\,k\,\,\left( { \le \,{s \over 2}\,} \right)} {\left( { - 1} \right)^k \binom{n-s+1}{k} \binom{n-3k}{s-3k} } } $$

Para $n=0,1,2,\cdots ,6$ obtenemos que $S(n)$ es igual a $$1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, \cdots$$

c) Conclusión

Teniendo en cuenta lo dicho en el punto a) podemos concluir que el número buscado $T(N)$ viene dada por $$ T(n) = S(N) + \sum\limits_{0\, \le \,n\, \le \,N - 1} {S(n)\,S(N - 1 - n)} $$

Para $n=0,1,2,\cdots ,8$ $T(n)$ resultados a ser $$1, 3, 8, 19, 43, 94, 200, 418, 861, \cdots$$ que comprueba correctamente con un recuento directo.