Valores propios de un producto de matrices

Question

Es un resultado bien conocido que para dos matrices $n\times n$ $A$ y $B$ los autovalores del producto $AB$ son iguales a los del producto $BA$.

¿Existen resultados similares para un producto de $m>2$ matrices? Por ejemplo, ¿tiene el producto de cuatro matrices $n\times n$ $ABCD$ los mismos autovalores que $ACBD$?

¡Gracias por tu ayuda!

Answer 1

Vamos a comprobar esto en matrices ortogonales (por ejemplo, rotaciones dim. $3 \times 3$).

Por ejemplo, tenemos $R_1R_1^TR_2R_2^T=I$ con $1$ como autovalores. Si cambiamos el orden de las rotaciones, por ejemplo $R_1R_2(R_2R_1)^T=R_1R_2R_1^TR_2^T$, ciertamente si $R_1$ y $R_2$ no son conmutativos no obtendríamos la matriz identidad y consecuentemente los autovalores serían diferentes.

Answer 2

De hecho, $AB$ y $BA$ tienen el mismo polinomio característico.

El problema al esperar que los cambios entre varias otras matrices conserven los autovalores, es que el polinomio característico no se comporta bien con la multiplicación de matrices por la izquierda/derecha.

En otras palabras, si $A$ y $B$ tienen el mismo polinomio característico, entonces esto puede no ser cierto para $CA$ y $CB$, donde $C$ es alguna otra matriz. Esto se debe a que la traza (suma de los autovalores) no es multiplicativa en general, y podemos usar esto para producir contraejemplos.

Para dar un ejemplo, toma $A = \begin{bmatrix}1 \ 0 \\ 0 \ 2 \end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \\ 0 \ 2\end{bmatrix}$. Estas matrices tienen el mismo polinomio característico. Encuentra tú mismo un $C$ tal que $CA$ y $CB$ tengan trazas diferentes, y por lo tanto autovalores diferentes. Encuentra un $D$ tal que $AD$ y $BD$ tengan trazas diferentes. Se sigue que $CA,CB$ y $AD,BD$ no tienen los mismos polinomios característicos.

El obstáculo al intentar demostrar, por ejemplo, que $CBA$ y $CAB$ tienen los mismos autovalores, es la incapacidad de asegurar que al multiplicar por $C$, después de saber que los autovalores de $AB$ y $BA$ son iguales, se mantiene la igualdad de autovalores. Es por esto que puedes usar los $C,A,B,D$ anteriores para encontrar contraejemplos de las afirmaciones que estabas haciendo.

Sin embargo, las permutaciones cíclicas mantienen los autovalores, porque simplemente estamos aplicando el caso de las "dos matrices" para deducir esto. Por ejemplo, $ABCD = (AB)(CD)$ tiene los mismos autovalores que $(CD)(AB) = CDAB$ y así sucesivamente. Por lo tanto, si bien esta es una generalización, puede que no se sienta satisfactoria.