¿Para cualquier $2$ x $2$matriz $A$, siempre existe un $2$ x $2$matriz $B$ tal que det($A+B$) = det($A$) + det($B$)?

Question

Para cada invertible $2$ x $2$ matriz $A$, no existe una invertible $2$ x $2$ matriz $B$ tales que las siguientes condiciones?

(1) $A + B$ es invertible

(2) det($A+B$) = det($A$) + det($B$)

Yo sé que para $2$ x $2$ matrices det($A+B$) = det($A$) + det($B$) + tr($A$)tr($B$) - tr($AB$). Así que esto significa tr($A$)tr($B$) = tr($AB$). Ahora mismo estoy teniendo problemas para demostrar que existe una $B$ que satisface esta ecuación así como de la condición (1).

Answer 1

Desde que aretalking de $2\times2$ matrices, a sus poco más fácil escribir de forma explícita.

Por lo $\det(A+B)=\det(A)+\det(B)$ que sucede cuando $(a_{11}+b_{11})(a_{22}+b_{22})-(a_{12}+b_{12})(a_{21}+b_{21})=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})+(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21})$

$\implies a_{11}b_{22}+b_{11}a_{22}-a_{12}b_{21}-b_{12}a_{21}=0=\det\begin{bmatrix}a_{11}\,a_{12}\\b_{21}\,b_{22}\end{bmatrix}+\det\begin{bmatrix}b_{11}\,b_{12}\\a_{21}\,a_{22}\end{bmatrix}$

La elección de $b_{11} = -a_{21}, b_{12} = -a_{22}, b_{21} = a_{11}$ e $b_{22} = a_{12}$ tenemos nuestra matriz B.

El punto clave aquí es elegir a $b_{ij}$ tal que los dos son los factores determinantes de cero. Parte 1 sigue considerando la matriz B tal que $\det(A+B)\neq0$

$\rule{17cm}{1pt}$

Ejemplo de $\det(A+B)\neq0$ considerar la matriz de $A=\begin{bmatrix}4\: 5 \\7\: 9\end{bmatrix}$. Podemos elegir la matriz B como $\begin{bmatrix}-7 -9 \\4 \:\: 5\end{bmatrix}$.