¿Por qué los cuerpos en aceleración tienen un horizonte de sucesos?

Question

Leí en un libro llamado "Three Roads to Quantum Gravity", escrito por Lee Smolin, que cualquier cuerpo en aceleración siempre tiene alguna región oculta del espacio-tiempo desde la que la luz nunca es capaz de alcanzarlos, por lo que desarrollan una especie de Horizonte de Sucesos para ellos. Dado que cualquier objeto con masa nunca puede alcanzar la velocidad de la luz, ¿cómo es posible que un objeto en aceleración nunca alcance un rayo de luz?

Answer 1

El horizonte que se forma para un marco de aceleración constante en el espaciotiempo plano es algo hermoso; enseña todo tipo de lecciones útiles sobre la R.G. Creo que la forma más agradable de apreciarlo es echar un largo vistazo al siguiente diagrama y al comentario que lo sigue:

Estos dos diagramas muestran la misma región del espaciotiempo. Se trata de un espaciotiempo plano, por lo que se aplica la relatividad especial. A la izquierda tienes la forma habitual de tratarlo, utilizando la $x,t$ coordenadas de un marco inercial. El $t$ es vertical, el $x$ eje horizontal y tomamos $c=1$ . A la derecha se muestran los mismos eventos pero utilizando coordenadas

$ h = (x^2 - t^2)^{1/2}, \;\;\;\;\;\;\; \theta = \tanh^{-1}(t/x) $

Se han trazado varias líneas mundiales. Las líneas a 45 grados en el diagrama de la izquierda son líneas mundiales de fotones; un ejemplo es la que parte de $(0,0)$ y viajando hacia la derecha. La línea vertical es la línea del mundo de un objeto en movimiento a velocidad constante; piensa en él como una sonda. Envía señales luminosas que se alejan hacia su derecha. Las líneas curvas con marcas de verificación son hipérbolas. Cada una de ellas es la línea del mundo de una partícula que se mueve con una aceleración propia constante. El conjunto de estas partículas puede considerarse como el cuerpo de un cohete que acelera hacia la derecha. Obsérvese que el fotón emitido por $(0,0)$ nunca alcanza a este cohete.

Las líneas rectas con pendiente inferior a 45 grados son líneas que indican conjuntos de eventos que se considerarían simultáneos para un observador sentado en el cohete.

Ahora mira el diagrama de la derecha. Muestra la misma región del espaciotiempo, pero en el $(h,\theta)$ sistema de coordenadas. Cada hipérbola del primer diagrama se endereza ahora en una línea vertical, y cada una de las líneas de simultaneidad que acabamos de mencionar son ahora horizontales. De ello se deduce que, para un observador sentado en el cohete, este diagrama muestra una forma natural de interpretar su entorno. Las distintas partes del cohete están a una "distancia" fija (es decir $h$ coordenadas) entre sí (las líneas rectas verticales). La dirección $\theta$ es una medida adecuada del paso del tiempo, pero fíjese en las marcas: un reloj a una altura determinada $h$ da más ticks por unidad de cambio de $\theta$ cuando $h$ es grande. Se trata de la "dilatación gravitacional del tiempo". Las marcas de los relojes muestran el tiempo propio, un observador situado en la parte baja del cohete considera que los relojes situados a mayor altura marcan más rápido.

Por último, veamos las señales que envía la sonda. Aquí es donde entra la discusión sobre el horizonte. La línea del mundo de la sonda se muestra mediante la línea curva más gruesa que se mueve hacia $h=0$ como $\theta$ aumenta. Las señales de los fotones tienen líneas del mundo que se curvan en el $h,\theta$ (esto ilustra el efecto de la gravedad sobre la luz). Observa las señales que recibe el observador sentado en el cohete a $h=1$ . Como el tiempo ( $\theta$ ), las señales llegan cada vez con menos frecuencia. Y, en efecto, nunca recibe los fotones enviados por la sonda después de que ésta pase el fotón de la derecha que notamos en el primer diagrama. Es esta línea del mundo de los fotones la que marca la ubicación de un horizonte. Ningún acontecimiento a la izquierda de este horizonte puede influir en los acontecimientos a la derecha del mismo, ni nada puede cruzar de izquierda a derecha, ni siquiera la luz.

En el $h,\theta$ sistema de coordenadas, un tiempo infinito $\theta$ tiene que pasar antes de que la sonda llegue realmente y cruce el horizonte mientras la sonda cae, pero esto no cambia el hecho de que el número de fotones enviados antes de llegar al horizonte se acuerda en los mapas. Por lo tanto, el observador del cohete está de acuerdo en que la cantidad de tiempo propio que pasa en la sonda no es infinita, pero la dilatación del tiempo gravitacional se acerca al infinito a medida que la sonda se acerca al horizonte. Esto es simplemente una afirmación sobre la calibración relativa de dos formas de llevar la cuenta del tiempo: la del tiempo propio y la del $\theta$ de la misma manera; ambos tienen su utilidad. Obsérvese también que a la sonda no le ocurre nada especial cuando cruza el horizonte. El horizonte es en sí mismo una región perfectamente ordinaria del espaciotiempo.

Por último, debes estar pensando: "¿pero este horizonte no aparece y desaparece, dependiendo de la elección del marco de referencia, mientras que seguramente el horizonte alrededor de un agujero negro es absoluto?" Esta reserva es parcialmente correcta; tiene que ver con la diferencia entre el espaciotiempo curvo y el espaciotiempo plano. Incluso cerca del horizonte de un agujero negro, puedo, si quiero, adoptar un marco inercial -es el marco de un objeto que cae libremente en el agujero- y en este marco no habrá horizonte. Pero dicho marco no puede extenderse mucho en el espacio y el tiempo; su "mapa" del espaciotiempo es más bien local.

La singularidad en el centro del agujero negro es absoluta, y también lo es el hecho de que un horizonte la encierra en cualquier marco de coordenadas capaz de extenderse a través de una región espacial que contiene la singularidad y se extiende lejos de ella.

El diagrama anterior, y las ideas, proceden de "Relativity made relatively easy" (fig. 9.20) , A. M. Steane (OUP 2012); se trata de un libro de texto de física para estudiantes.

Answer 2

He abordado esto como una nota al pie de la pregunta ¿Cuál es la forma adecuada de explicar la paradoja de los gemelos? pero ya que pregunta específicamente sobre este punto, publicaré una respuesta aquí también.

Es necesario conocer la ecuación que describe la trayectoria de un objeto que acelera uniformemente. La derivación no es muy ilustrativa, así que me contentaré con citar el resultado. Para más detalles, véase Gravitación, de Misner, Thorne y Wheeler, capítulo 6. También hay un resumen en la obra de Phil Gibbs excelente artículo sobre el cohete relativista .

De todos modos, supongamos que estás acelerando con una aceleración propia constante $a$ . Obsérvese que la aceleración constante significa que la aceleración que sientes en tu marco de reposo es constante, por ejemplo, sientes una $1g$ . La aceleración en el marco de reposo del observador inercial que te observa obviamente no puede ser constante porque ese observador no puede verte superar la velocidad de la luz. Supongamos también que empiezas en el punto $x = c^2/a$ en el momento $t=0$ . En este caso su distancia en función del tiempo viene dada por:

$$ x = \frac{c^2}{a}\sqrt{1 + \left(\frac{at}{c}\right)^2} $$

Tomamos un factor de $at/c$ de la raíz cuadrada para obtener:

$$\begin{align} x &= \frac{c^2}{a}\frac{at}{c}\sqrt{1 + \left(\frac{c}{at}\right)^2} \\ &= ct\sqrt{1 + \left(\frac{c}{at}\right)^2} \end{align}$$

Ahora, en el momento cero, enviamos un haz de luz desde el origen $x=0$ , por lo que el haz de luz comienza a una distancia $c^2/a$ detrás de ti. Lo que vamos a mostrar es que mientras mantengas tu aceleración constante $a$ el haz de luz nunca puede alcanzarte, y eso significa que hay un horizonte de coordenadas en la distancia $c^2/a$ detrás de ti.

Para empezar, simplemente reutilizaremos la última ecuación. Nos interesa lo que ocurre en los tiempos grandes $t$ y cuando $t \gg c/a$ tenemos $c/at \ll 1$ por lo que podemos aproximar nuestra ecuación utilizando el teorema del binomio:

$$ x \approx ct\left(1 + \tfrac{1}{2}\left(\frac{c}{at}\right)^2\right) $$

Ahora la luz comienza en $x=0$ y se mueve a una velocidad constante $c$ por lo que la trayectoria de la luz viene dada por:

$$x_\text{light}=ct$$

Y obtenemos la distancia entre tú y el haz de luz restando la posición de la luz de tu posición:

$$\begin{align} x - x_\text{light} &\approx ct\left(1 + \tfrac{1}{2}\left(\frac{c}{at}\right)^2\right) - ct \\ &\approx \tfrac{1}{2}\left(\frac{c}{at}\right)^2 \end{align}$$

Así que lo que encontramos es que el haz de luz está siempre a una distancia $\tfrac{1}{2}(c/at)^2$ detrás de ti, es decir, el rayo de luz nunca puede alcanzarte. Por eso existe un horizonte para un observador en constante aceleración.