La respuesta a esta pregunta depende de la irracionalidad de medida $\mu(\pi)$ de $\pi$, en una forma que significa que está sin resolver. (El estado actual de la técnica es que $2 \leq \mu(\pi) \leq C$, donde $C \approx 7.6$.)
Supongamos que $\mu(\pi)>4$. Luego existen una infinidad de pares de enteros $(p,q)$ tales que
$$\left|\pi - \frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^4}$$
Para tal $p$, $|\sin p|=|\sin(p-q\pi)|<|q\pi - p|<\frac{1}{q^3}$ y así
$$
\left|\frac{1}{p^3\pecado p}\right|>\frac{q^3}{p^3}>\frac{1}{27}
$$
(como $\frac{p}{q}$ se aproxima a la $\pi$, por lo que, en particular, va a ser mayor que $3$). Desde la secuencia sólo pueden converger a cero, esto es suficiente para demostrar que diverge.
Por otro lado, supongamos que la secuencia diverge. A continuación, hay algunas constantes $C$ y subsequence $(p_n)$ tales que
$$\left|\frac{1}{(p_n)^3\sin p_n}\right|>C$$
para todos los $n$. Elija $q_n$ , de modo que $|p_n-\pi q_n|<\frac{\pi}{2}$. Entonces tenemos
$$
|\pi q_n-p_n|<\frac{\pi}{2}|\sin(p_n-\pi q_n)|=\frac{\pi}{2}|\pecado p_n|<\frac{1}{C (p_n)^3}
$$
y así
$$
\left|\pi\frac{p_n}{q_n}\right|<\frac{1}{C(p_n)^3q_n}<\frac{1}{27C(q_n)^4}
$$
para una infinidad de $p_n,q_n$. Esto es suficiente para deducir que $\mu(\pi)>4$.
Así que, en resumen, la búsqueda de si la sucesión converge esencialmente se reduce a la comparación de $\mu(\pi)$ a $4$: un salvajemente problema sin resolver.
