Esta secuencia $a(n) = \frac{1}{n^3\sin(n)}$ convergen

Question

¿La secuencia de $$a(n) = \frac{1}{n^3\sin(n)}$$ convergen ?

He intentado todo lo posible estándar de cálculo enfoques, pero fue en vano ...

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He intentado utilizar el teorema de la raíz y el límite de la $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ que algo me hizo nada ... Entonces yo le siguió tratando de demostrar que $n^3\cdot \sin(n)$ no tiene límite inferior $K > 0$ comprobando el comportamiento de la función $|n^3\cdot \sin(n)|$ y concluyendo que en algún momento el valor entero de $n$ me traerá el valor de la función, que será entre el $0$ y $K$, pero no he logrado dar una rigurosa prueba de que la conclusión

Answer 1

La respuesta a esta pregunta depende de la irracionalidad de medida $\mu(\pi)$ de $\pi$, en una forma que significa que está sin resolver. (El estado actual de la técnica es que $2 \leq \mu(\pi) \leq C$, donde $C \approx 7.6$.)

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Supongamos que $\mu(\pi)>4$. Luego existen una infinidad de pares de enteros $(p,q)$ tales que

$$\left|\pi - \frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^4}$$

Para tal $p$, $|\sin p|=|\sin(p-q\pi)|<|q\pi - p|<\frac{1}{q^3}$ y así $$\left|\frac{1}{p^3\pecado p}\right|>\frac{q^3}{p^3}>\frac{1}{27}$$ (como $\frac{p}{q}$ se aproxima a la $\pi$, por lo que, en particular, va a ser mayor que $3$). Desde la secuencia sólo pueden converger a cero, esto es suficiente para demostrar que diverge.

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Por otro lado, supongamos que la secuencia diverge. A continuación, hay algunas constantes $C$ y subsequence $(p_n)$ tales que $$\left|\frac{1}{(p_n)^3\sin p_n}\right|>C$$ para todos los $n$. Elija $q_n$ , de modo que $|p_n-\pi q_n|<\frac{\pi}{2}$. Entonces tenemos $$|\pi q_n-p_n|<\frac{\pi}{2}|\sin(p_n-\pi q_n)|=\frac{\pi}{2}|\pecado p_n|<\frac{1}{C (p_n)^3}$$ y así $$\left|\pi\frac{p_n}{q_n}\right|<\frac{1}{C(p_n)^3q_n}<\frac{1}{27C(q_n)^4}$$

para una infinidad de $p_n,q_n$. Esto es suficiente para deducir que $\mu(\pi)>4$.

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Así que, en resumen, la búsqueda de si la sucesión converge esencialmente se reduce a la comparación de $\mu(\pi)$ a $4$: un salvajemente problema sin resolver.

Answer 2

Pensé que incluiría una visualización de las partes interesadas: