¿Por qué se debe tener cuidado
La equiparación de cualquier infinito de expresión de un número real debe ser hecho con un toque de precaución, debido a que la expresión no tiene un valor real. Por ejemplo, el establecimiento $x = 1-1+1-1+...$ no es correcto, ya uno ve que $1-x = 1+(-1+1-1+1) = x$, lo $x = \frac 12$ cual es absurdo de una adición punto de vista : cada vez que truncar la serie, siempre tiene valor de $1$ o $0$, entonces, ¿dónde se $\frac 12$ proviene de? Con esta lógica, es seguro decir $1-1+1-...$ no evalúa a cualquier finito número real.
Sin embargo, una vez podemos confirmar que el resultado de una expresión es verdadera y bien definido, entonces podemos jugar con ellos como lo hacemos con los números reales.
Ok, entonces, ¿qué acerca de esto?
Para confirmar que $\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}$ es un finito número real, necesitamos el lenguaje de secuencias.
No voy a ir muy lejos, pero en esencia, si definimos una secuencia de reales por $x_1 = \sqrt 6$ e $x_{n+1} = \sqrt{6+x_n}$, a continuación, $x_ 2 = \sqrt{6+\sqrt 6}$, $x_3 = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt 6}}$, y, finalmente, $x_n$ asemeja más y más la expresión que nos da a evaluar.
EDITADO : he modificado los pasos necesarios para mostrar que $x_n$ es una secuencia convergente, en el número real $3$.
Es fácil ver que $x_n$ está acotada. Es claramente positivo para todos los $n$, y puede ser demostrado ser delimitada por $3$ por encima de la inducción.
$a_n$ es un aumento de la secuencia también puede ser demostrado fácilmente. Cualquiera limitada aumento de la sucesión es convergente.
Una vez que la convergencia se muestra, entonces podemos asumir que $\lim x_n = L$ existe y, a continuación, utilizar continuidad a tomar límites en $x_{n+1} = \sqrt{6+x_n}$ a ver que $L = \sqrt{6+L}$. Pero $L \geq 0$ debe suceder. Por lo tanto, $L=3$ es el límite, y por lo tanto el valor de la expresión.
La versatilidad de las secuencias de
Para añadir a esto, las secuencias también ofrecen versatilidad. Una pregunta similar, pueden preguntar: ¿qué es:
$$
6+\frac{6}{6+\frac{6}{6+\frac{6}{6+...}}}
$$
Lo que hacemos aquí es el mismo : utilizar el lenguaje de secuencias, mediante la definición de $x_1 = 6$ e $x_{n+1} = 6 + \frac{6}{x_n}$. Una vez más, podemos comprobar la convergencia es decir, que esta cantidad es un finito número real(Pero en esta ocasión, la secuencia en lugar oscila alrededor del punto de convergencia antes convergencia). A continuación, podemos utilizar los límites de deducir que si $L$ es el valor que satisface $L = 6+ \frac 6L$, lo que da una razonable candidato, $3+\sqrt{15}$. Así, esta expresión es en realidad igual a $3+\sqrt{15}$.
No es fácil todo el tiempo!
Sin embargo, el enfoque utilizando secuencias no siempre da inmediata recompensas. Por ejemplo, usted podría pedir la siguiente :
$$
\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+...}}}}
$$
que también se ve como una anidados radical.Podemos encontrar una secuencia que, para la gran $n$, se parece a esta expresión? Intente escribir de abajo, la cual se puede trabajar con.
De todos modos, la respuesta a la anterior expresión es $3$! Para ver esto, tenemos que usar la inversa "anidación" :
$$
3 = \sqrt{9} = \sqrt{1+2\cdot 4} = \sqrt{1+2\sqrt{16}} = \sqrt{1+2\sqrt{1+15}} \\ = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{25}}} = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{36}}}} \\= \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{49}}}}} =...
$$
Y sólo respira, respira. Ramanujan, clase diez, creo.
EDITAR
El anidado método radical es malo, a partir de un riguroso punto de vista, para que la razón se señaló en los comentarios. Sin embargo, hay una rigurosa prueba aquí. La prueba por Yiorgos Smyrlis es brillante.
Tenga en cuenta que el "anidada radical" método puede ser utilizado para el problema anterior, por $3 = \sqrt{6+3} = \sqrt{6+\sqrt{6+3}} = ...$, pero esto es unrigorous, sólo la prestación de la intuición. Usted puede probar a ver si algo intuitivo puede ser derivada para la continuación de la fracción.
