¿Cuáles son los posibles valores de estas letras?

Question

De todas las preguntas que respondí en un revisor de matemáticas, esta me mató (y 7 más).

Sean $J, K, L, M, N$ cinco enteros positivos distintos tales que $$ \frac{1}{J} + \frac{1}{K} + \frac{1}{L} + \frac{1}{M} + \frac{1}{N} + \frac{1}{JKLMN} = 1. $$ Entonces, ¿cuál es $J + K + L + M + N$?

He estado pensando en esto durante casi 6 días.

Answer 1

La inducción podría llevarte a la respuesta. La ecuación es:

$$ \frac 1 {x_1} + \frac 1 {x_2} + \dots + \frac 1 {x_{n}} + \frac 1 { x_1 x_2 \dots x_{n}} = 1 $$ Caso $ n = 0 $: el conjunto vacío resuelve la ecuación ya que un producto vacío es 1

Caso $ n = 1 $: la solución obvia es $ x_1 = 2 $.

Caso $ n = 2 $: un poco más difícil, pero puedes encontrar $ x_1 = 2, x_2 = 3 $. Haciendo esto, noté una cosa: asumiendo que resolviste la ecuación de $ (n-1) $, puedes elegir $ x_n $ para que $ + \frac 1 {x_{n}} $ en la primera parte de la ecuación compense el factor $ \frac 1 {x_n} $. Vamos a comprobar.

Caso cualquier $ n $: asumiendo que $ x_1, \dots x_{n} $ resuelven la ecuación, requerimos $ x_{n+1} $ de modo que

$$ \frac 1 {x_n} + \frac 1 {x_2} + \dots + \frac 1 {x_{n+1}} + \frac 1 { x_1 x_2 \dots x_{n+1}} = \frac 1 {x_1} + \frac 1 {x_2} + \dots + \frac 1 {x_n} + \frac 1 { x_1 x_2 \dots x_n} $$

Eliminando sumandos idénticos:

$$ \frac 1 {x_{n+1}} + \frac 1 { x_1 x_2 \dots x_{n+1}} = \frac 1 { x_1 x_2 \dots x_n } $$ Multiplicando los numeradores por $ x_1 x_2 \dots x_{n+1} $: $$ x_1 x_2 \dots x_{n} + 1 = x_{n+1} $$

¡Resuelto!

Answer 2

Un comienzo, en mi móvil.

Supongamos $j

Entonces j=2 o 3 porque 1 hace que la suma sea demasiado grande y 4 hace que sea demasiado pequeña.

Por lo tanto, el j sin el 1/j es 1/2 o 2/3. Puedes obtener un árbol de posibilidades continuando de esta manera.

Otra opción:

Limpiar fracciones para obtener

$klmn+jlmn+jkmn+jkln+jklm+1=jklmn$

o

$klmn+j(...)+1=jklmn$

o

$j(klmn-...)=klmn+1$.

Por lo tanto, $j|(klmn+1)$ (y similarmente para los otros) para que j sea relativamente primo a los otros.

Por lo tanto, todas las variables son relativamente primos entre sí.

Lo dejo así ya que es todo lo que puedo pensar mientras estoy acostado en la cama.

Answer 3

$\{2,3,7,43,1807 \}$ - los primeros 5 términos de la secuencia de Sylvester - también funcionan. En esta secuencia cada término es el producto de los términos anteriores más $1$.

Así que parece que la solución no es única.

(Acabo de ver que Robert Israel ya hizo esta observación).

Answer 4

A menos que haya cometido un error, las soluciones (hasta la permutación) son

[2, 3, 7, 43, 1807]

[2, 3, 7, 47, 395]

[2, 3, 11, 23, 31]

Código de Maple:

f := proc(S) local R; 
R := map(t -> 1/t, S); 
convert(R,`+`) + convert(R,`*`) 
end proc:
for jj from 2 to 3 do 
for kk from jj+1 while f([jj,kk,kk+1,kk+2,kk+3]) >= 1 do 
lmin := floor(solve(1/jj+1/kk+1/l=1)); 
for ll from max(kk+1,lmin) while f([jj,kk,ll,ll+1,ll+2]) >= 1 do 
if 1/jj+1/kk+1/ll >= 1 then next fi; 
for mm from max(ll+1,floor(solve(1/jj+1/kk+1/ll+1/m=1))) while f([jj,kk,ll,mm,mm+1]) >= 1 do 
nn := solve(f([jj,kk,ll,mm,n])=1); 
if nn::integer and nn > mm then 
printf("Found [%d, %d, %d, %d, %d]\n",jj,kk,ll,mm,nn) 
fi 
 od od od od:

Answer 5

Buscar a través de la fuerza bruta da una solución $\{2, 3, 11, 23, 31 \}$

Suponer que $J < K < L < M < N$ y también tener en cuenta que el número menor $J$ solo puede ser $2$ o $3$

En Python $3.x$, puedes verificar ejecutando este código

for j in range(2, 4):
    for k in range(j+1, 100):
        for l in range(k+1, 100):
            for m in range(l+1, 100):
                for n in range(m+1, 100):
                    if k*l*m*n + j*l*m*n + j*k*m*n + j*k*l*n + j*k*l*m + 1 == j*k*l*m*n:
                        print(j, k , l , m , n)