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Cartografía continua y puntos fijos

¿Realiza un mapeo continuo f:RR que satisface f(f(x))=x para cada xR ¿tiene necesariamente un punto fijo?

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Brian T. Grant Puntos 129

Supongamos que f(a)=b para algunos ab entonces f(b)=f(f(a))=a . Definir g(x)=f(x)x y tenemos g(a)=f(a)a=ba y g(b)=f(b)b=ab de g es continua, por el teorema del valor intermedio, existe c entre a,b tal que g(c)=f(c)c=0 porque ba y ab tienen signos opuestos.

2voto

Sugerencias ampliadas:

  1. Podemos suponer que f(0)0 . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer también que f(0)>0 . Esto se debe a que si f(f(x))=x para todos los reales x entonces también F(F(x))=x para todos x donde defino F(x)=f(x) . Además, f(x)=x si F(x)=x por lo que si uno tiene un punto fijo también lo tiene el otro. Todo esto equivale a que podemos estudiar F en lugar de f para conseguir f(0)>0 .
  2. Mira la restricción de f al intervalo [0,f(0)] . Observe que f mapea los puntos finales de este intervalo entre sí. Traza las gráficas de ambos f y la función de identidad id(x)=x . ¿Por qué deben intersecarse en este intervalo? Teorema de Bolzano (o teorema del valor intermedio) sobre g(x):=f(x)x .

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