Cartografía continua y puntos fijos

Question

¿Realiza un mapeo continuo $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ que satisface $f(f(x))=x$ para cada $x \in \mathbb R$ ¿tiene necesariamente un punto fijo?

Answer 1

Supongamos que $f(a) = b$ para algunos $a \neq b$ entonces $f(b) = f(f(a)) = a$ . Definir $g(x) = f(x) -x$ y tenemos $$g(a) = f(a) - a = b-a$$ y $$g(b) = f(b) - b = a-b$$ de $g$ es continua, por el teorema del valor intermedio, existe $c$ entre $a,b$ tal que $$g(c) = f(c) - c = 0$$ porque $b-a$ y $a-b$ tienen signos opuestos.

Answer 2

Sugerencias ampliadas:

1. Podemos suponer que $f(0)\neq0$ . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer también que $f(0)>0$ . Esto se debe a que si $f(f(x))=x$ para todos los reales $x$ entonces también $F(F(x))=x$ para todos $x$ donde defino $F(x)=-f(-x)$ . Además, $f(-x)=-x$ si $F(x)=x$ por lo que si uno tiene un punto fijo también lo tiene el otro. Todo esto equivale a que podemos estudiar $F$ en lugar de $f$ para conseguir $f(0)>0$ .
2. Mira la restricción de $f$ al intervalo $[0,f(0)]$ . Observe que $f$ mapea los puntos finales de este intervalo entre sí. Traza las gráficas de ambos $f$ y la función de identidad $id(x)=x$ . ¿Por qué deben intersecarse en este intervalo? Teorema de Bolzano (o teorema del valor intermedio) sobre $g(x):=f(x)-x$ .