¿Realiza un mapeo continuo f:R→R que satisface f(f(x))=x para cada x∈R ¿tiene necesariamente un punto fijo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Per Hornshøj-Schierbeck
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Sugerencias ampliadas:
- Podemos suponer que f(0)≠0 . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer también que f(0)>0 . Esto se debe a que si f(f(x))=x para todos los reales x entonces también F(F(x))=x para todos x donde defino F(x)=−f(−x) . Además, f(−x)=−x si F(x)=x por lo que si uno tiene un punto fijo también lo tiene el otro. Todo esto equivale a que podemos estudiar F en lugar de f para conseguir f(0)>0 .
- Mira la restricción de f al intervalo [0,f(0)] . Observe que f mapea los puntos finales de este intervalo entre sí. Traza las gráficas de ambos f y la función de identidad id(x)=x . ¿Por qué deben intersecarse en este intervalo? Teorema de Bolzano (o teorema del valor intermedio) sobre g(x):=f(x)−x .