Representación ortogonal de operador finito

Question

Me gustaría saber si mi prueba es correcta.

Declaración: Que $T$ sea un operador de rango finito en un espacio de Hilbert $\mathscr{H}$. Mostrar que $\forall \, h \, \in \mathscr{H}, \, T(h)$ puede ser escrito como $T(h) = \sum_{i=1}^n\langle h, e_i \rangle f_i$ ${e_i}$ Dónde está una base orthonormal de $\mathscr{H}$

Trató de la prueba: $T(h)$ puede ser escrito como $T(h) = \sum_{i=1}^n\langle T(h), e_i \rangle ei = \sum{i=1}^n\langle h, T^*(e_i) \rangle e_i$.

Ahora, si dejamos que $f_i=T^*(e_i)$ a continuación:

$T(h) = \sum_{i=1}^n\langle T(h), e_i \rangle ei = \sum{i=1}^n\langle h, T^*(e_i) \rangle ei = \sum{i=1}^n\langle h, f_i \rangle e_i$

Y esto es donde me han pegado.

Answer 1

No veo el punto de su último cómputo: ya han obtenido lo que está buscando antes del "Y si tenemos..."

Tienes tu $e_i$ y $f_i$ en los lugares equivocados, pero eso es sólo una cuestión de etiquetado: deberían haber comenzado con ${f_i}$ como base orthonormal.

En un lado más profundo, ¿por qué ${T^*e_i}$ y orthonormal base? En general, no es.

Answer 2

Deje $\{ e_{j}\}_{j=1}^{N}$ ser un ortonormales base de $\mathcal{R}(T^{\star}T)$--que es finito-dimensional y, por lo tanto, cerrados, y se extiende a una completa base ortonormales de $X$ mediante la adición de una base ortonormales $\{ e_{j} \}_{j=N+1}^{\infty}$$\mathcal{R}(T^{\star}T)^{\perp}=\mathcal{N}(T^{\star}T)=\mathcal{N}(T)$. A continuación,$Te_{j}=0$$j > N$, y $$ Tx = T\sum_{j=1}^{\infty}(x,e_{j})e_{j}=\sum_{j=1}^{N}(x,e_{j})Te_{j}=\sum_{j=1}^{N}(x,e_{j})f_{j}. $$ Nota: estoy asumiendo que $\mathscr{H}$ es separable, pero esto parece razonable basado en el hecho de que usted ha sugerido que $\mathscr{H}$ tiene una contables ortonormales. Sin embargo, la suma final de la representación $Tx = \sum_{j=1}^{N}(x,e_{j})f_{j}$ no dependen realmente de tal presunción por $T$ aniquila $\mathcal{N}(T^{\star}T)=\mathcal{N}(T)$, independientemente de su dimensión.