La desigualdad de Young para tres variables

Question

Deje que $x, y, z \geq 0$ y dejar $p, q, r > 1$ ser tal que $$ \frac {1}{p} + \frac {1}{q} + \frac {1}{r} = 1. $$ ¿Cómo se puede demostrar que bajo estas hipótesis tenemos $$ xyz \leq \frac {x^p}{p} + \frac {y^q}{q} + \frac {z^r}{r} $$ con igualdad si y sólo si $x^p = y^q = z^r$ usando el doble de los dos parámetros estándar de la desigualdad de Young, que dice que para todos $x, y \geq 0$ y para todos $p, q > 1$ para el cual $ \frac {1}{p} + \frac {1}{q} = 1$ tenemos $$ xy \leq \frac {x^p}{p} + \frac {y^q}{q} $$ con igualdad si y sólo si $x^p = y^q$ ?

He intentado aplicarlo dos veces directamente, multiplicar dos desigualdades y sumar dos desigualdades, pero en cada caso se complica bastante y no puedo obtener el resultado deseado, aunque estoy seguro de que debería ser bastante sencillo.

Answer 1

La función $ \ln $ es cóncavo, así que si $ \sum_n \lambda_n =1$ con $ \lambda_n \ge 0$ Entonces $ \ln ( \sum_n \lambda_n x_n ) \ge \sum_n \lambda_n \ln x_n$ (con $x_n >0$ por supuesto).

Por lo tanto $ \ln ( \frac {x^p}{p} + \frac {y^q}{q} + \frac {z^r}{r} ) \ge \frac {1}{p} \ln x^p + \frac {1}{q} \ln y^q + \frac {1}{r} \ln x^r = \ln (x y z)$ .

Tomar exponentes da el resultado deseado.

Desde $ \ln $ es estrictamente cóncavo, tenemos igualdad si $x_i = x_j$ en la primera desigualdad, que corresponde a $x^p = y^q = z^r$ .

Answer 2

Aquí hay una solución aplicando la desigualdad de Young dos veces.

En primer lugar, aplicar la desigualdad a $x$ y $yz$ con $p$  y $ \frac {p}{p-1}$ para conseguir $$xyz \le \frac {x^p}{p} + \frac {(yz)^{ \frac {p}{p-1}}}{ \frac {p}{p-1}}.$$ Entonces aplíquelo a $y^{ \frac {p}{p-1}}$ y $z^{ \frac {p}{p-1}}$ con $ \frac {p-1}{p} q$ y $ \frac { \frac {p-1}{p}q}{ \frac {p-1}{p}q - 1} = \frac {(p-1)q}{pq-p-q}$ para conseguir $$xyz \le \frac {x^p}{p} + \frac {p-1}{p} \left ( \frac {y^q}{ \frac {p-1}{p}q} + \frac {z^{ \frac {pq}{pq-p-q}}}{ \frac {(p-1)q}{pq-p-q}} \right )$$ Fíjate en que $ \frac {pq}{pq-p-q} = r$ así que tienes $$xyz \le \frac {x^p}{p} + \frac {y^q}{q} + \frac {z^r}{r}$$ como se quería.