ZF: ¿Axioma de regularidad o esquema axiomático?

Question

He visto que el sistema axiomático ZF para la teoría de conjuntos se describe incluyendo un único axioma de regularidad (también conocido como "fundamento"), a saber $$\forall x\neq\emptyset \, \exists y\in x \ y\cap x = \emptyset$$ e incluyendo también la regularidad como un esquema axiomático infinito, con un axioma para cada fórmula $\varphi(x,x_1,..,x_n)$ : $$\forall x_1,..,x_n \,\exists x \left(\varphi \rightarrow \exists x \, \left( \varphi \land \forall y\in x \ \neg \varphi\frac{y}{x}\right)\right)$$

La segunda versión establece que cada clase no vacía tiene un $\in$ -mientras que la primera afirma que todo conjunto no vacío tiene un elemento $\in$ -elemento mínimo. ¿Es el segundo más fuerte? ¿Es necesario?

Answer 1

Sea $\phi(x,x_1, \ldots, x_n)$ sea una fórmula dada. Para $x_1, \ldots, x_n$ supongamos que existe un $x$ tal que $\phi(x, x_1, \ldots, x_n)$ retenciones. Sea $X$ sea el cierre transitivo de $\{x\}$ (que es un conjunto) y
\[ z = \{y \en X \mid \phi(y, x_1, \ldots, x_n) \} \] Entonces $z$ no es vacío, por regularidad, $z$ tiene un $\in$ -elemento mínimo $x'$ . Sea $y \in x'$ entonces $y \in X$ (como $X$ es transitivo) y $y \not\in z$ (como $x'$ es $\in$ -minimal), por lo que $\neg\phi(y,x_1,\ldots, x_n)$ . Es decir, $x'$ es un $\in$ -elemento mínimo de la clase $\phi$ .

Así pues, el esquema se deduce de los demás axiomas de $\mathsf{ZF}$ .