Demostrando que ya sea$2^n-1 $ o$ 2^n+1$ no es primo

Question

No estoy seguro de qué enfoque tomar con esto:

Demuestre que al menos$2^n-1 $ o$ 2^n+1$ es compuesto$\forall$$n>2$

Answer 1

Considere$2^n -1 , 2^n$ y$2^n+1$ sabemos que uno de ellos es múltiplo de 3 hasta$2^n$ no puede dividirse entre 3, por lo que uno de$2^n-1$ o$2^n+1$ debe dividirse por 3.

EDITAR : para$n =1$ tenemos esta secuencia:$1,2,3$ y para$n=2$ tenemos esta secuencia:$3,4,5$. Como ve, tenemos un número en ambas series que está dividido por 3, pero como este número es 3 y 3 es primo, debemos considerar$n>2$.

Answer 2

$$(4-1)|4^n-1=(2^n-1)(2^n+1)$$ so $ 3 | (2 ^ n-1)$ or $ 3 | (2 ^ n +1)$ since $ 3$ is prime. Also $ (2 ^ n +1 )> (2 ^ n-1)> 3 $.

Answer 3

Sugerencia: $\ 3\nmid a,\ \,3\mid (a\!-\!1)a(a\!+\!1)\!\stackrel{\color{#0a0}{\rm Remark}}{\Rightarrow} 3\mid a\!-\!1\ \ {\rm or}\ \ a\!+\!1,\,$ $\,a>4\Rightarrow a\!-\!1\ \ {\rm or}\ \ a\!+\!1\,$ no prime.

$\color{#0a0}{\rm Remark\!:}\, $ Más en general, cualquier secuencia de $\,n\,$ consecutivos naturales tiene un elemento divisible por $\,n.\,$ Esto tiene una simple inductivo prueba: $ $ cambio de una secuencia por uno no cambia su conjunto de restos de mod $\,n,\,$ desde que sustituye al antiguo de menos el elemento $\:\color{#C00}a\:$ por los nuevos grandes elemento $\:\color{#C00}{a+n}$ $$\begin{array}{}& \color{#C00}a, &\!\!\!\! a+1, &\!\!\!\! a+2, &\!\!\!\! \cdots, &\!\!\!\! a+n-1 & \\ \to & &\!\!\!\! a+1,&\!\!\!\! a+2, &\!\!\!\! \cdots, &\!\!\!\! a+n-1, &\!\!\!\! \color{#C00}{a+n} \end{array}\qquad$$

Desde $\: \color{#C00}{a\,\equiv\, a\!+\!n}\pmod n,\:$ el cambio no cambio el resto de la secuencia. Por lo tanto el resto son los mismos que en el caso base $\ 0,1,2,\ldots,n-1\ =\: $ todos los $ $ posibles restos de $ $ mod $\,n.\,$ por lo Tanto la secuencia tiene un elemento con el resto $\,0,\,$ es decir, un elemento divisible por $\,n.$

Answer 4

Como $n>2,2^n-1>3$

Si $n$ es incluso, $=2m$(por ejemplo), $2^n-1=2^{2m}-1=4^m-1$ que es divisible por $4-1=3$ $(a-b)$ divide $a^n-b^n$ por entero $n\ge 0$

Si $n$ es impar, $=2m+1$(por ejemplo), $2^{2m+1}+1=2^{2m+1}+1^{2m+1}$ que es divisible por $2+1=3$ $(a+b)$ divide $a^{2m+1}+b^{2m+1}$ por entero $m\ge 0$

---

Alternativamente,

$(2^n-1)(2^n+1)=4^n-1$ es divisible por $4-1=3,$

pero $2^n+1>2^n-1>3$

Referencias : Fermat Prime 1,2, Mersenne Prime1,2

Answer 5

Si n es composit, también lo es$ 2^n -1 $. Si n es primo o tiene un factor impar,$ 2^n +1 $ es composit.