¿Puede para cualquier número irracional encontrar una secuencia de racional que sea convergente a esa irracional?

Question

Conozco algunas secuencias del número racional tales que convergen al número irracional como$\sqrt 2$,$e$ etc. ¿Es esto cierto para cualquier número irracional? Es decir, para cualquier irracional, ¿podemos encontrar una secuencia concreta de número racional?

Answer 1

Sí. Simplemente toma el redondeo irracional a números decimales variables

Entonces, por ejemplo,$\sqrt{2}= 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948\ldots$, que es el límite de$\dfrac{1}{1}, \dfrac{14}{10}, \dfrac{141}{100}, \dfrac{1414}{1000}, \dfrac{14142}{10000}, \cdots$

Si su irracional es$x$, entonces considere$\dfrac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n}$ para$n=0,1,2,3,4,\ldots$ donde$\lfloor x \rfloor$ es$x$ redondeado hacia abajo hasta el mayor entero menor o igual que$x$ . Cada uno de estos racionales estará dentro de$\frac1{10^{n-1}}$ de$x$

Answer 2

Puede por cualquier número irracional podemos encontrar la secuencia de racional, de tal manera que es convergente para que el irracional?

Basado en cómo la pregunta es específicamente formulada, la respuesta es NO. Por ejemplo, Chaitan constante.

El concepto clave aquí es el de números computables. Estos son, precisamente, los números para los que podemos encontrar una secuencia de números racionales que convergen a ella. Pero dado que sólo hay un conteo de número de números computables, hay una cantidad no numerable de números reales para los que no podemos encontrar una secuencia convergente.

Por supuesto, este tipo de secuencia existe, pero si podemos o no finita que los seres humanos pueden encontrar este tipo de secuencia es una cuestión separada.

Esto puede ser más claro en plantear dos cuestiones separadas pero relacionadas:

1. Dado cualquier número real, ¿existe una secuencia de números racionales que convergen a ella? SÍ. (Esta es la pregunta que otras respuestas han contestado.)
2. Dado cualquier número real, podemos calcular (encontrar) una secuencia de números racionales que convergen a ella? NO, no si el número no es computable.

Answer 3

Tenga en cuenta que cada número irracional, $\gamma$ se encuentra entre dos números enteros, decir $$\gamma\in (n,n+1)$$

Dividir este intervalo de $(n,n+1)$ a $10$ a partes iguales, y $\gamma$ tiene que estar dentro de una de esas partes.

Que es que ahora tenemos $\gamma$ exprimido entre dos números racionales, cuya distancia es de $1/10$

Dividir este intervalo de nuevo en $10$ partes y ha $\gamma$ exprimido entre dos números racionales, cuya distancia es de $1/{100}$

Continúe este proceso y tiene dos secuencias de números racionales convergentes a $\gamma$

Answer 4

Sí, esto está implícito porque los números racionales$\mathbb{Q}$ son densos en los números reales$\mathbb{R}$.

Answer 5

Sí, para la n-ésima raíz existe una no triviales de la función que va a producir el resultado con el desiderd dígitos, pero es una larga historia nueva:

Recordando que:

$$ A^n= \sum_{X=1}^{A} (X^n-(X-1)^n) $$

Llamar a $M_n=(X^n-(X-1)^n)$ la Complicar Entero Módulo, o el Entero Derivados

He escrito aquí:

Cómo ir racional con el Binomio Desarrollar

Cómo probar también podemos ir Racional con la Complicar Racional Módulo, o el Racional Derivado de:

$$ M_{n,K }= {n \elegir 1}x^{n-1}/K - {n \elegir 2}x^{n-2}/K^2 + {n \elegir 3}x^{n-3}/K^3 -... +/- \frac{1}{K^n} $$

Para cualquier n-ésima raíz, tomando n=2 como ejemplo:

$$ a^2=(a/K)^2 = \sum_{1/K}^{a} 2x/K - 1/K^2 $$

donde si:

1) K=1 por lo $a = A \in\mathbb{N-Q}$ el resultado resto sin cambios por cualquier $K$ elige:

$$ a^2=(A)^2 = \sum_{1}^{A} 2x - 1 = \sum_{1/K}^{a} 2x/K - 1/K^2 = \lim_{K\to\infty}\sum_{1/K}^{a} 2x/K - 1/K^2 = \int_{0}^{a} 2x dx $$

2) K>1 lo $a = A/K \in\mathbb{Q-N}$ la igualdad es verdadera sólo para:

$$ a^2=(a/K)^2 = \sum_{1/K}^{a} 2x/K - 1/K^2 = \lim_{K\to\infty} \sum_{1/K}^{a} 2x/K - 1/K^2 = \int_{0}^{a} 2x dx $$

3) si a es irracional, a continuación, $a \in\mathbb{R-Q}$

$$ a^2= \lim_{K\to\infty}\sum_{1/K}^{a} 2x/K - 1/K^2 = \int_{0}^{a} 2x dx $$

Esta fórmula puede ser revertido a ser un Recoursive Diferencia a partir de un valor conocido P a su n-ésima raíz, dado que con la precisión de que el deseo eligiendo la derecha o a la interesada $K$:

Por ejemplo, si queremos hacer la raíz cúbica de 31, con 1 decimal, tenemos que usar la Complicar Racional Módulo de $M_{3,10}=3x^2/10-3x/100+1/1000$ lo que hacen el recoursive diferencia:

Aquí el resultado de la recoursive diferencia, así que la raíz cúbica de 31 de tomarse con 1 dígito de precisión

Así que tenemos 3.1

Para hacer la raíz cúbica de 31, con 2 decimales, debemos utilizar la Complicar Racional Módulo con K=100: $M_{3,10}=3x^2/10^2-3x/100^2+1/1000^2$

Aquí el resultado de la recoursive diferencia es la raíz cúbica de 31 con 2 dígitos de precisión

Así que tenemos 3.14

Este es el mismo de Piso Y Celing, pero en los Racionales.

Para la regla anterior, ya sabemos que podemos aumento de $K\to\infty$ estamos seguros de que la Raíz Cúbica de 31 es un irracional, ya que podemos crear 2 de la envolvente: una Menor detener la diferencia para los Más pequeños Racional < $31^{1/3} =LB_K $

O podemos dar un paso más y tener el límite Superior $UB_{K+1}$

En el límite de $K\to\infty$ límite Inferior y Superior convergen a la

Límite, que existen, y aún si no es un smoot convergencia, que convergen en los medios de comunicación.

Aquí el enfoque de 2 a preguntar si es un cuadrado, por lo que tratando de entender si $\sqrt{2}$ es un número Entero/Racional/Irracional de la raíz, el aumento de K de 1 a $\infty$ y la elección de sólo el más cercano menor racional y a la siguiente, formando la parte Superior y el límite Inferior

Todos los que ofrecen un interesante físicas advertencia: en caso de un mesaure de un Irracional Valor con una Racional Instrumento de Precisión 1/K, 10 veces más preciso instrumento NO va a asegurar un 10 tiempo más precisa mesaure...