Valores propios de una matriz$A$ tal que$ A^2=0$.

Question

Suponga que la matriz de $A$ $2 \times 2$ distinto de cero de la matriz con entradas en $\Bbb C$. Cuál de las siguientes afirmaciones deben ser verdaderas?

1. $PAP^{-1}$ es una matriz diagonal para algunos es invertible la matriz de $P$ con las entradas en $\Bbb R$.

2. $A$ tiene sólo un único autovalor en $\Bbb C$ con multiplicidad $2$.

3. $A$ tiene dos autovalores de a $\Bbb C$.

4. $Av = v$ para un no-cero $v$.

Por favor, sugieren que las posibilidades de sostener. A mí me parece que la característica del poli es $ f(t) = t^2$, lo que significa que la opción (2) sostiene que es sólo un autovalor cero con multiplicidad $2$.

Answer 1

Sugerencia:$\lambda$ valor propio de$A\Rightarrow \lambda^2$ valor propio de$A^2$. ¿Cuáles son los valores propios de$A^2$ y, por lo tanto, cuál es el único valor propio posible de$A$? ¿Cómo puede verse$A$ (hasta el cambio de base)?

Answer 2

Asumiendo que la condición se $A^2=0$, el título es de hecho parte de la pregunta, ninguna de las declaraciones formuladas deben ser cierto. Además de las declaraciones 4., 3., y (dado que el $A\neq0$) 1. debe ser falsa. 4. esto es evidente, puesto que implicaría $A^2v=Av=v\neq0$, para los 3. es similar porque esto implica que debe ser un no-cero autovalor $\lambda$, y de la correspondiente autovector $v$ uno se $A^2v=A\lambda v=\lambda^2v\neq0$, y esto se muestra por 1. que la diagonal de la matriz en questoin sólo puede ser nulo de la matriz, sino $PAP^{-1}=0$ implicaría $A=0$ (incluso sin assumping $P$ real de las entradas), contrario a la hipótesis.

Tengo que explicar por qué considero que es incorrecto decir que 2., lo que es claramente la intención de ser la respuesta correcta, debe ser cierto. Esto es debido a que 2. utiliza la noción de "multiplicidad de un autovalor" sin decir lo que significa, y esto es bastante ambiguo. Si miramos la definición de autovalor (un escalar $\lambda$ tal que existe un vector $v\neq0$$Av=\lambda v$), a continuación, es un verdadero-o-falso importa, con que no hay nada para sugerir una multiplicidad. Si alguien puede contar el número de diferentes opciones posibles para $v$, entonces uno podría obtener infinito mutliplicity. Dado que, sería más natural para tomar su lugar a la dimensión del conjunto de posibilidades para $v$ (después de arrojar la no-vector propio de valor de $0$ sea un subespacio), que se llama la multiplicidad geométrica de $\lambda$ como valor propio, y con esta definición, la multiplicidad de el único autovalor $0$ $1$ en lugar de $2$ (siendo $2$ significaría $Av=0$ $2$- dimensional espacio de $v$'s, lo que significa que todos los $v$'s, y esto es falso), lo que hace que la instrucción 2. falso.

Ahora puedo adivinar que probablemente la intención de otra definición de la multiplicidad de un valor propio, es decir, su multiplicidad como raíz del polinomio característico, y con esta definición de la instrucción 2. de hecho, se convierte en realidad, como $A^2=0$ implica que el polinomio característico es $X^2$. Pero no hay ninguna razón por la que uno debe usar el polinomio característico para encontrar los autovalores, por lo que no es razonable llamar a esto el (sin calificar) la multiplicidad de un autovalor. De hecho, uno puede también determinar los autovalores como las raíces del polinomio mínimo, y esto llevaría a otra noción de multiplicidad (en el caso actual, la mínima polinomio se puede también, y aún más fácilmente, ser visto para ser $X^2$, pero en general puede ser diferente; que tiene exactamente las mismas raíces del polinomio característico, pero sus multiplicidades puede ser menor).