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Prueba de límites usando la definición epsilon

Quiero demostrar que $$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^{2}+1} = 0.$$ So I start by saying, given $\varepsilon > 0 $ I want to find $M > 0$ such that $% $ $\forall x>M\implies\left|\frac{x}{x^{2}+1}-0\right|

Ahora todos los que hasta ahora me ha contestado ha arrancado un $M$ de la nada sin ninguna indicación en cuanto a cómo la encontraron. Así que no sabemos $M$ ¿cómo nos encontraría?

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rajb245 Puntos 290

El truco está en que la expresión más fácil de tratar. Por ejemplo, para $x > 0$

$$\left| \frac{x}{x^2 + 1} - 0 \right| \leq \left| \frac{x}{x^2} \right| = \frac{1}{x} $$

Ahora se vuelve hacia adelante encontrar un adecuado $M$ dado $\epsilon > 0$.

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Jherico Puntos 12554

Una cosa importante a notar aquí es que este $M$ no es único, usted puede tomar cualquier $M$ que pasa a trabajar.

La forma más común de hacer esto es para "estimar" la cosa de alguna manera, hacer cambios incrementales para llegar a una expresión simple.

$$\frac{x}{1+x^2} = \frac{1}{1/x+x} \le \frac{1}{x}$ $ Así si encuentro un $M$ tal que tengo $x > M$ $\frac{1}{x}

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