Hablar de $\frac{d}{d\theta}e^{i\theta}$ aka cis antes derivados complejos y complejo exponencial

Question

Un Primer Curso en Análisis Complejo de Matthias Beck, Gerald Marchesi, Dennis Pixton, y Lucas Sabalka

Definición de $e^{i \theta}$ (o de la cei en otros textos)

---

Acerca de la Proposición 1.3 f, ¿cómo es posible hablar de derivados de $e^{i \theta}$ antes de definir los derivados de las funciones complejas (Ch2) (incluidas las funciones de una variable real creo!) y la definición de la exponencial compleja (Ch3)?

En particular, la prueba de la Proposición 1.3 f parece asumir la linealidad de las derivadas de las funciones complejas.

Hay incluso este ejercicio más adelante: lo sufi 1.6 b

Yo sé cómo hacer esto con Ch3 definición de la exponencial compleja. Yo no creo que esto se puede hacer con sólo Ch1 incluso si escribimos $e^{\phi + i\phi} = e^{(i+1)\phi}$.

Answer 1

Como indica el autor, esto es sólo una definición de una función de $\phi$ y que podría haber sido denotado $q(\phi)$. Esta notación es elegido porque está de acuerdo con nuestra definición de la real y complejo de exponenciación. Puede ser difícil ver el $e^{i\phi}$ y recuerde (hasta el capítulo 3), que no sabe que este es el complejo exponencial, solo saben que es esta función de $\phi$.

Las propiedades en $1.3$ todo puede ser verificada directamente de la definición y la costumbre identidades trigonométricas. En particular, para $1.3f$ hemos $$\frac d{d\phi}e^{i\phi}=\frac d{d\phi}(\cos \phi +i\sin \phi)=-\sin \phi+i\cos \phi=ie^{i\phi}$$ Tenga en cuenta que la regla para la diferenciación de una exponencial no fue utilizado.

El reto veo por $1.6b$ proviene de la mezcla de lo real y lo imaginario números en la exponencial. Incluso si usted ya ha definido la función exponencial real argumentos, tenemos que definir el $e^{a+bi}=e^ae^{bi}$ y no veo una definición de que a menos que haya definido el seno y coseno de los números imaginarios. Si se le da la definición y tiene la derivada de la exponencial real que usted puede probar lo que se desea.

Answer 2

Cuando definimos $e^{i\phi} = \cos \phi +i\sin \phi$ la única información de números complejos es que $i$ es una constante cuyo cuadrado es $-1$

Puede usar el álgebra del campo complejo sin utilizar teoremas de diferenciación de variables complejas.

Cuando nosotros probamos $\frac {d}{dz}z^2=2z$ utilizando la definición de derivado estamos usando variables complejas, pero cuando usamos $\frac {d}{d\phi }(cos \phi + i\sin \phi)= -\sin \phi + i \cos \phi $ sólo estamos utilizando las reglas de la diferenciación de funciones reales vlued, $\sin x$ y $\cos x$ con el álgebra de números complejos.

Answer 3

Sospecho que una definición no explícita como

$$\frac{d}{d\theta}x(\theta)+iy(\theta) := \frac{d}{d\theta}x(\theta)+i\frac{d}{d\theta}y(\theta) \tag{1}$$

en lugar de algo así como ' podemos tratar $i$ constante.

Creo que $(1)$ puede considerarse como natural si consideras $z(\theta):=x(\theta)+iy(\theta) \in \mathbb C$ como un vector $\in \mathbb R^2$ s.t.

$$z(\theta) = [x(\theta),y(\theta)] \in \mathbb R^2$$

Entonces

$$z'(\theta)= [x'(\theta),y'(\theta)]$$