PDF de la diferencia entre dos variables aleatorias beta independientes.

Question

Estoy teniendo problemas derivados de la distribución de la diferencia de dos beta variables aleatorias y me gustaría algo de ayuda para comprobar los pasos que he tomado. En particular, el cálculo de los límites.

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Decir que he a$X_1\sim\text{Beta}(a_1,b_1)$$X_2\sim\text{Beta}(a_2,b_2)$, independiente, y estoy interesado en el cálculo de la distribución de $X_1-X_2$. Así que aquí es lo que he llegado hasta ahora:

Deje $Z=X_1-X_2$ $W=X_1$ donde$0\leq X_i\leq 1$$i=1,2$. Por lo $X_1=W$$X2 = W-Z$.

Del mismo modo $\frac{dX_1}{dW}=1$, $\frac{dX_1}{dZ}=0$, $\frac{dX_2}{dW}=1$, y $\frac{dX_2}{dZ}=-1$. Entonces el determinante del Jacobiano sería $|J| = 0\times1 - (-1)\times1=1 $

Entonces tenemos que

\begin{align} f_{Z,W}(z,w) &=f_{X_1,X_2}(J_1(z,w),J_2(z,w))\times|J|\\ &=f_{X_1,X_2}(w,z-w)\\ &=f_{X_1}(w) f_{X_2}(z-w)\\ &=\text{Beta}(w;a_1,b_1)\times\text{Beta}(w-z;a_2,b_2)\\ &=\frac{(w)^{1-a_1}(1-w)^{1-b_1}}{\beta(a_1,b_1)}\times\frac{(w-z)^{1-a_2}(1-(w-z))^{1-b_2}}{\beta(a_2,b_2)} \end{align}

A partir de allí se podría integrar a cabo $W$ $f_{Z,W}(z,w)$ para obtener la cantidad de intereses, es decir, la distribución de $Z=X_1-X_2$.

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Así que ahora esto es donde estoy atascado. Tengo lo siguiente:

$$f_Z(z)=\int f_{Z,W}(z,w)dw=\int \text{Beta}(w;a_1,b_1)\times\text{Beta}(w-z;a_2,b_2) dw$$

Pero no entiendo cómo obtener los límites de la integral, y si la integral debe dividirse en partes o no. Déjame saber también si alguno de los pasos anteriores son incorrectas.

Answer 1

Tenemos $0<x_1<1$$0<x_2<1$. Desde $W=X_1$$X_2=W-Z$, $0<w<1$ $0<w-z<1\quad\longrightarrow\quad z<w<1+z$ después de la transformación. Es fácil ver que estos son equivalentes a $w>0$, $w<1$, $z<w$, y $z>w-1$. Para hacerlo más claro, vamos a la trama de estos cuatro desigualdades

De $w$-eje de punto de vista, la región de $0<w<1$ está delimitado por $z=w$$z=w-1$. Por otro lado, de $z$-eje de punto de vista, la región de $-1<z<0$ está delimitado por $w=1+z$ $w=0$ y la región de $0<z<1$ está delimitado por $w=1$$w=z$. Por lo tanto, Si nos referimos a la figura anterior, se observa que el marginal pdf de $W$ está dado por \begin{equation} f_W(w)=\left\{ \begin{array}{l} &\displaystyle\int_{w-1}^{w}f_{W,Z}(w,z)\ dz\qquad &0<w<1\\[10pt] &0\qquad &\text{elsewhere} \end{array} \right. \end{equation} En una manera similar, el marginal pdf de $Z$ está dado por \begin{equation} f_Z(z)=\left\{ \begin{array}{l} &\displaystyle\int_{0}^{1+z}f_{W,Z}(w,z)\ dw\qquad &-1<z<0\\[10pt] &\displaystyle\int_{z}^{1}f_{W,Z}(w,z)\ dw\qquad &0<z<1\\[10pt] &0\qquad &\text{elsewhere} \end{array} \right. \end{equation}