Evaluar

Question

He intentado evaluar$$∫\frac{\sin(8x)}{9+\sin^4(4x)}\,\mathrm d x$ $ usando la siguiente identidad:

PS

Entonces reformé la integral a esto:

PS

Mi$$\frac{d(\sin^{-1}{u})}{du} = \frac{du}{1+u^2}$ en este caso sería$$1/9\int\frac{\sin(8x)}{1+\sin^4(4x)/9}\,\mathrm dx = 1/9\int\frac{\sin(8x)}{1+(\sin^2(4x)/3)^2}\,\mathrm dx$. Pero no sé a dónde ir desde aquí porque no sé cómo reformar$u$ en$\sin^2(4x)/3$.

¿Podría alguien explicarme cómo podría convertir$\sin(8x)$ en mi$d(u)$?

Answer 1

Permitir que$$I=\int\frac{\sin(8x)}{9+\sin^4(4x)}\,\mathrm dx$ $ sustituya

$$4x=t\iff4\,\mathrm dx=\,\mathrm dt$ $ $$ I = \ int \ frac {\ sin (8x)} {9+ \ sin ^ 4 (4x)} \, \ mathrm dx = \ frac14 \ int \ frac {\ sin (2t) } {9+ \ sin ^ 4 (t)} \, \ mathrm dt = \ frac14 \ int \ frac {2 \ sin t \ cos t} {9+ \ sin ^ 4 (t)} \, \ mathrm dt $ $ Nuevamente sustituye$$\sin^2 t= u\iff 2\sin t\cos t \,\mathrm dt=\,\mathrm du$ $

PS

Espero que puedas tomarlo desde aquí.

Answer 2

Sugerencia : Si$u = \dfrac{1}{3}\sin^2(4x)$, entonces$\dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{3} \cdot 2 \cdot \sin(4x) \cdot \cos(4x) \cdot 4 = \dfrac{8}{3}\sin(4x)\cos(4x)$.

Ahora aplique la fórmula de doble ángulo$2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$.

Answer 3

Sugerencia:$\sin(8x)=2\sin(4x)\cos(4x).$ Esto debería sugerir una sustitución más simple.

Answer 4

$\sin^4 (4x) = \dfrac{\left(1- \cos (8x)\right)^2}{4} \Rightarrow u = \cos (8x) \Rightarrow du = -8\sin (8x)dx \Rightarrow \displaystyle \int \dfrac{\sin (8x)}{9+ \sin^4(4x)} dx = -\dfrac{1}{8}\cdot \displaystyle \int \dfrac{1}{9+\dfrac{(1-u)^2}{4}} du = -\dfrac{1}{2}\cdot \displaystyle \int \dfrac{1}{6^2 + (1-u)^2} du = -\dfrac{1}{72}\cdot \displaystyle \int \dfrac{1}{1+\left(\dfrac{1-u}{6}\right)^2}du = \dfrac{1}{12}\cdot \displaystyle \int \dfrac{dv}{1+v^2} = \dfrac{\tan^{-1}v}{12} + C = \dfrac{1}{12}\cdot \tan^{-1}\left(\dfrac{1-\cos (8x)}{6}\right) + C$