Necesito ayuda con una pregunta de introducción sobre polinomios complejos

Question

Hola a todos Tengo algunas dificultades para entender algunos conceptos. Estoy tratando de resolver las raíces de un polinomio complejo.

$$f(x)=(3i+1)x^{2}+(-6i-2)x+12$$

Traté de usar la fórmula cuadrática que es,

$$x= \frac{-(-2-6i) \pm \sqrt{(-6i-2)^{2}-4(3i+1)(12)}}{2(3+i)}$$

$$x= \frac{2+6i \pm \sqrt{-176-24i}}{6+2i}$$

Ahora es cuando estoy confundido, $$\sqrt{-176-24i}$$ que reescribí como $$\sqrt{((-1)(8)(22+3i)}$$

y utilizando lo que creía que eran reglas válidas, lo escribí como $$\sqrt{8}i\sqrt{22+3i}=2\sqrt{2}i\sqrt{22+3i}$$

así que con esa forma pensé que podría escribir,

$$x= \frac{2(1+3i \pm \sqrt{2}i\sqrt{22+3i})}{2(3+i)}$$

$$x= \frac{(1+3i \pm \sqrt{2}i\sqrt{22+3i})}{(3+i)}$$

Pero ahora estoy atascado y no estoy seguro de si la forma es correcta, y no estoy seguro de cómo puedo proceder para obtener una respuesta final. ¿Alguna ayuda, por favor? Todavía estoy atascado en esto. ¿Hay alguna manera de hacerlo sin cambiar a la forma polar? También agradezco todos los consejos para encontrar las raíces cuadradas y demás, pero todavía no estoy seguro de que mi trabajo sea correcto. ¿Podría alguien ayudarme con eso? Parece que no estoy de acuerdo con wolfram.

Answer 1

En general, dejemos $z=x+iy$ donde $x$ y $y$ son números de valor real. Podemos expresar $z$ en Coordenadas polares como $z=\sqrt{x^2+y^2}e^{i\arctan(x,y)}$ donde el Función arctangente $\arctan(x,y)$ viene dada por

$$\arctan(x,y)=\begin{cases} \arctan(y/x)&,x>0\\\\ \pi+\arctan(y/x)&,x<0,y>0\\\\ -\pi+\arctan(y/x)&,x<0,y<0\\\\ \pi/2&,x=0,y>0\\\\ -\pi/2&,x=0,y<0 \end{cases}$$

Entonces, la raíz cuadrada de $z$ , $z^{1/2}$ es uno de los dos valores

$$z^{1/2}=\pm (x^2+y^2)^{1/4}e^{i\arctan(x,y)/2} \tag 1$$

Podemos convertir $z^{1/2}$ a coordenadas rectangulares utilizando La identidad de Euler en $(1)$ . Procediendo así se obtiene

$$\begin{align} z^{1/2}&=\pm (x^2+y^2)^{1/4}\left(\cos\left(\frac12 \arctan(x,y)\right)+i\sin\left(\frac12\arctan(x,y)\right)\right)\\\\ &=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}\pm i\,\text{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}\tag 2 \end{align}$$

donde al llegar a $(2)$ utilizamos el Fórmulas de medio ángulo para las funciones seno y coseno.

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Aplicando $(2)$ al problema específico para el que $z=22+3i$ tenemos

$$\begin{align} z^{1/2}&=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{(22)^2+(3)^2}+22}{2}}+i\text{sgn}(3)\sqrt{\frac{\sqrt{(22)^2+(3)^2}-22}{2}}\right)\\\\ &\approx 4.701255327631890 +i0.319063717127566 \end{align}$$

Answer 2

Buscamos $a+ib$ tal que $$(a+ib)^2=a^2-b^2+2abi=-176-24i.$$ Es decir $a^2-b^2=-176$ y $2ab=-24$ . Así que $b=-12/a$ y $$a^4+176a^2-144=0,$$ que da $$a^2=-88\pm\sqrt{7888}$$ por lo que $a=\pm 2\sqrt{-22+\sqrt{493}}.$ Ahora puede encontrar fácilmente $b$ .

Answer 3

Otra buena fórmula para la raíz cuadrada compleja de algún $z\in \Bbb C$ es $$\sqrt{z}=\pm\sqrt{|z|}·\frac{z+|z|}{\bigl|z+|z|\bigr|}$$ codificando los hechos de que la raíz está en la bisectriz del ángulo de $z$ y el eje real y que el valor absoluto es la raíz del valor absoluto de $z$ .