¿Por qué puedo dividir una fracción como esta?

Question

Supongamos que tengo una fracción: $$\frac{2^n}{2^{2n}+1}$ $

Puedo simplificarlo para convertirse en: $$\frac{1}{2^{n}+\frac{1}{2^n}}$ $

Ahora obviamente, esto es simplemente dividiendo el numerador y el denominador de la fracción $2^n.$ mi pregunta es por qué puedo hacerlo. ¿Alguien puede explicarme el álgebra detrás de esta división a mí?

EDIT: he intentado pensar en la fracción inicial como la operación de división como $2^n \cdot \frac{1}{2^{2n}+1}$ $\frac{2^n \cdot \frac{1}{2^{2n}+1}}{2^n}$, pero no pude llegar a ninguna parte con intentar calcular $\frac{\frac{1}{2^{2n}+1}}{2^n}$.

Answer 1

Sólo estás multiplicando la fracción original por $1$ en un disfraz hábilmente elegido:

$$1=\frac{1/2^n}{1/2^n}\;,$$

por lo que

$$\frac{2^n}{2^{2n}+1}=\frac{2^n}{2^{2n}+1}\cdot\frac{1/2^n}{1/2^n}=\frac1{2^n+\frac1{2^n}}\;.$$

Answer 2

Una forma de mirarlo, es que se multiplican el numerador y el denominador por $\frac{1}{2^n}$. En el numerador tiene $\frac{2^n}{2^n}$ $1$. En el denominador se obtiene:

$$\frac{1}{2^n}\cdot (2^{2n} + 1) = \frac{2^{2n}}{2^n} + \frac{1}{2^n} = 2^{2n-n} + \frac{1}{2^n} = 2^n + \frac{1}{2^n}$$

y hay que ir:

$$\dfrac{1}{2^n + \dfrac{1}{2^n}}$$