¿Qué es el subcampo fija de este grupo?

Question

Supongamos $\mathbb{K}$ es un campo de característica cero. Deje $G$ ser el subgrupo del grupo de Galois de $\mathbb{K} \subset \mathbb{K}(x)$ (el campo de funciones racionales sobre $\mathbb{K}$ con indeterminada $x$) generado por la automorphism $x \rightarrow x+1$. Encontrar el fijo subcampo de $\mathbb{K}(x)$ correspondiente a $G$.

Mi intento: Durante la prueba, me fui por la tangente tratando de demostrar que el fijo subcampo es $\mathbb{K}$ debido a que una función racional está periódico parecía extraño para mí; sin embargo, no pude probarlo y estoy seguro de que el grupo de Galois no se genera por $x \rightarrow x+1$. Alternativamente, traté de encontrar una función racional que es fijado por este automorphism fue en vano.

Contexto: Este tipo de pregunta se refería a un HW y asignación de una prueba en mi curso de Álgebra (que es un indicador podría ser en el Examen de Calificación). Se agradece cualquier ayuda, Gracias.

$\underline{Edit:}$ Estoy viendo las respuestas que el resultado en el campo fijo se $\mathbb{K}$ (como yo lo había adivinado). ¿Esto implica que el $Gal(\mathbb{K}(x) / \mathbb{K}) \cong <\beta >$ por Gaois Correspondencia? Donde $\beta$ es de $x \rightarrow x+1$.

Answer 1

Supongamos que $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ es fijo, con la $p,q$ cero relativamente primer polinomios en $K[x]$. A continuación, $f(x) = f(x+1)$ implica $p(x) q(x+1) = p(x+1) q(x)$. Por la suposición de que $p(x)$ $q(x)$ son relativamente primos, vemos que $p(x) \mid p(x) q(x+1) = p(x+1) q(x)$ implica $p(x) \mid p(x+1)$. Del mismo modo, desde la $p(x+1)$ $q(x+1)$ también son relativamente primos, también tenemos $p(x+1) \mid p(x)$.

Por lo tanto, $p(x+1)$ debe ser una unidad de $K[x]$ veces $p(x)$. Comparando líder de los coeficientes de ambos lados, esa unidad debe ser 1. Ahora, $\Delta p(x) = p(x+1) - p(x) = 0$; pero también, si $p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$$a_n \ne 0$, entonces el líder plazo de $\Delta p(x)$$n a_n x^{n-1}$. Esto implica que debemos tener $n = 0$, es decir, $p(x)$ es un polinomio constante.

Un argumento similar muestra $q(x)$ también debe ser un polinomio constante, por lo $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ es una constante. (El único caso, este argumento no cubierta es $f(x) = 0$, que es también, obviamente, constante.)

Answer 2

Que $\Phi(x)\in \mathbb K(x)$ denotan una función racional invariante bajo $x \mapsto x+1$. Elegir $a\in \mathbb K$ que $\Phi(a)$ existe (siempre es posible puesto que $\mathbb K$ es infinita) y que $k=\Phi(a)$ y que $\Psi(x)=\Phi(x)-k$.

$\Psi(x)\in \mathbb K(x)$ Tiene infinitamente muchos ceros, $\Psi(a+n)=0\;\forall n\in \mathbb N$. Se sigue que el numerador de $\Psi(x)$ idénticamente es $0$ lo que implica que el $\Phi(x)=k \;\forall x\in \mathbb K$.

(Nota: característica $0$ era necesario para infinitamente muchos ceros. Si la característica fuera $p$ entonces este argumento sólo produciría $p$ ceros.)