¿Por qué esto no es una inconsistencia en la teoría elemental de la mentira?

Question

Me hizo una observación de la semana pasada, y me ha molestado desde siempre.

Recordar las fórmulas $$\exp([X,Y])=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\exp\left(\frac{1}{n}X\right)\exp\left(\frac{1}{n}Y\right)\exp\left(\frac{-1}{n}X\right)\exp\left(\frac{-1}{n}Y\right)\right)^{n^2}$$ and $$[X,Y]_p(f)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t^2}\Bigg(f\Big(\!\exp(-tY)\exp(-tX)\exp(tY)\exp(tX)p\Big)-f(p)\Bigg).$$

La observación es esta: la primera fórmula "se mueve a la derecha", mientras que la segunda fórmula "se mueve hacia la izquierda"!

Esto me llevó de vuelta a las definiciones.

Supongamos que tenemos una Mentira grupo $G$ y queremos definir la Mentira de álgebra de $G$. Podemos definir la Mentira de álgebra usando el medico adjunto de la representación, con $X_e,Y_e\in T_eG$ y $$[X_e,Y_e]=\mathrm{ad}_{X_e}(Y_e)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}(L_{\exp(tX_e)*}R_{\exp(-tX_e)*}Y_e-Y_e),$$ or with left-invariant vector fields $X$ and $Y$ with $$[X,Y]_e=\mathcal{L}_X(Y)_e=\lim_{t\rightarrow 0}(\exp(-tX)_*Y_{\exp(tX)e}-Y_e).$$

Creo que soy mucho menos hábiles en el segundo que el primero, así que tal vez esto se deriva de la falta de práctica, pero parece que estos no son la misma Mentira de álgebra, en el sentido de que el mapa de identidad en $T_eG$ no es una Mentira álgebra isomorfismo. De hecho, parece que el mapa de identidad sería un anti-isomorfismo, por lo que el $[X_e,Y_e]=-[X,Y]_e$. Por supuesto, anti-isomorfo álgebras de Lie son isomorfos, pero no son "el mismo" en el sentido anteriormente.

Hoy, he probado esto en la matriz de Lie del grupo de $\left\{\begin{bmatrix}a & b \\ 0 & 1\end{bmatrix}\!:a,b\in\mathbb{R}\text{ and } a>0\right\}$, pero llegaron a la misma álgebra.

¿Por qué estas dos definiciones "se mueven en direcciones opuestas" en el sentido anterior, y cómo determinar la misma Mentira de álgebra?

Estoy en busca de una explicación detallada, preferiblemente incluyendo

• si o no estas dos definiciones son anti-isomorfo
• las relaciones entre el parámetro de subgrupos $\exp(tX)$ y las curvas de flujo de $\exp(tX)e$
• un poco de intuición geométrica

Answer 1

Si uno toma la Mentira de soporte de dos campos vectoriales definidos como el colector (pensamiento de campos vectoriales como derivaciones en el álgebra conmutativa de las funciones lisas), esto es exactamente menos el infinitesimal contraparte de la adjoint acción de diffeomorphisms (cambio de coordenadas).

En lenguaje complicado. Deje $M$ ser un colector (liso, Hausdorff, paracompact, y conectado... aunque esto no es del todo necesario), denotan la diffeomorphism grupo de $M$ $\mathrm{Diff}(M)$ e las $C^\infty(M)$-módulo de campos vectoriales por $\mathfrak{X}(M;\mathbb{R})$.

La adjunto por la acción de la diffeomorphism $\phi\in\mathrm{Diff}(M)$ sobre un campo de vectores $X\in\mathfrak{X}(M;\mathbb{R})$ es el mapeo $\mathrm{Ad}_\phi:\mathfrak{X}(M;\mathbb{R})\to\mathfrak{X}(M;\mathbb{R})$ $\mathrm{Ad}_\phi(X)(f):=X(f\circ\phi)\circ\phi^{-1}$ por cada $f\in C^\infty(M;\mathbb{R})$.

El infinitesimal contraparte de la adjoint acción, $\mathrm{ad}:\mathfrak{X}(M;\mathbb{R})\to\mathrm{End}_{\mathbb{R}}(\mathfrak{X}(M;\mathbb{R}))$, definido por $(\mathrm{ad}_X(Y)(f))(p):=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathrm{Ad}_{\exp(tX)}(Y)(f))(p)\Big{|}_{t=0}$, para cada $X,Y\in\mathfrak{X}(M,\mathbb{R})$, $f\in C^\infty(M;\mathbb{R})$, y $p\in M$, dota $\mathfrak{X}(M,\mathbb{R})$ con una Mentira álgebra estructura.

El reclamo es que el $\mathrm{ad}_X(Y)(f)=-[X,Y](f)=Y\circ X(f)-X\circ Y(f)$. Uno puede demostrar mediante la aplicación del teorema de Taylor para la función de $\mathbb{R}\ni t\mapsto f\circ\exp(tX)(q)\in\mathbb{R}$ donde $q\in M$ $\exp(tX)\in\mathrm{Diff}(M)$ denota el flujo de $X\in\mathfrak{X}(M;\mathbb{R})$ tiempo $t\in\mathbb{R}$.

Ahora, si $M$ es una Mentira grupo y se toma el conmutador de dos campos vectoriales invariantes que se evalúa en la identidad de la Mentira álgebra estructura en el espacio de la tangente a la identidad, se tiene la definición de $[X,Y]_e$ descrito por el Cartel Original.

La conjugación de la acción de una Mentira grupo $(G,\cdot)$ es la acción $\mathrm{A}:G\to\mathrm{Diff}(G)$ que asocia a cada una de las $g\in G$ un diffeomorphism $A_g\in\mathrm{Diff}(G)$$A_{g}(g_1):=g\cdot g_1\cdot g^{-1}$, para todos los $g_1\in G$. Y para cada una de las $g\in G$ el pushforward en la identidad de $\mathrm{A}_g\in\mathrm{Diff}(G)$, $\mathrm{Ad}_g:={\mathrm{A}_g}_{*_e}:\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$, define el adjunto acción $\mathrm{Ad}:G\to\mathrm{Aut}_{\mathbb{R}}(\mathfrak{g})$. Aquí estoy usando la (habitual) la notación $\mathfrak{g}:=T_eG$, e $\mathrm{ad}:=\mathrm{Ad}_{*_e}:\mathfrak{g}\to\mathrm{End}_{\mathbb{R}}(\mathfrak{g})$, dota $\mathfrak{g}$ con una Mentira álgebra estructura: que no sólo está de acuerdo con la definición de $[X_e,Y_e]$ descrito por el Cartel Original, pero está de acuerdo con la infinitesimal contraparte de la adjoint de acción definido previamente para cualquier colector.

Esta podría ser la fuente para la señal de desacuerdo entre las dos definiciones dadas por el Cartel Original. Si no, al menos es una explicación de por qué hay más de un convenio para que el signo de la Mentira de soporte entre campos vectoriales.

P. S.: La Mentira de derivados es también conocido como el pescador de la derivada, que yo creo que es un perfecto ajuste de la nomenclatura Qiaochu del Yuan comentario.